折两下，

一拉，

一甩，

一声响亮的“bang”便将我们的思绪带回童年，

童年的快乐是如此简单。

想必很多人小时候都玩过这个有趣的折纸玩具吧？这个东西被称为纸炮，别看其结构简单，玩法简单，实际上它是一个超音速装置。

这是怎么回事呢？今天小编就带大家看一下纸炮之中的物理。

Part I 基本的波动

在探究纸炮的原理之前，我们先回顾一下关于波动以及声波的一些概念。

众所周知，生活中有各种各样的波动，而波动分为横波和纵波，比如光波、湖面水波都属于横波，声波、弹簧的振动属于纵波。

波动在传播过程中，媒介中各体元的振动方向和波的传播方向垂直的就是横波，体元的振动方向和传播方向平行的就是纵波。

横波（左）和纵波传播示意图 来源：[1]

(那么你心底的波动是什么波呢？)

所有波动都可以看做不同的基本的简谐波的叠加，而简谐波的波动方程为：

产生波动的振动源被称为波源，从上面方程可以知道，离波源不同距离的振动体元的相位会有所不同。

我们可以定义具有相同相位的所有点组成的面为同一波面，离波源最远的波面称为波前。

平面波（左）和球面波（右）波面示意图

所有的波动都会有一个传播速度，称为波速（v）。波动的频率就是波源的振动频率（f，其中w为圆频率）。频率的倒数就是波动在时间上的周期（T）。除此之外，波动在空间上的周期称为波长（λ）。它们之间的关系为：

对于声波来说，空气中的声速公式最早由牛顿给出。但是他认为声波的传播过程为等温过程。

后来拉普拉斯指出声波在传播时，媒介体元是被迅速压缩，导致温度改变而来不及传热，所以是绝热过程。

空气压缩体元受力图

由此得到的声速大小为[1]：

其中γ是绝热指数，R为普适气体常量，M为气体的摩尔质量。这虽然是一个理想情况的公式，但是我们带入相关参数得到的0度下空气的声速为331 m/s。和我们熟知的340 m/s相比还是很准确的。

那么我们听到的声音大小是怎么描述的呢？声音的强度被称为声强。我们都知道声音是具有能量的，声强实际上就是声波的平均能流密度，或者说是单位面积内声音的功率。

波的平均能流密度表达为[1]：

可见与声强与声波的频率和振幅的平方和声速成正比。

在这里为了直观理解，举个例子为一个人说话的声功率仅为10-5W。

Part II 激动的波动——激波

前面的讨论都是基于波源不动的前提，那么如果波源也发生运动则会发生什么呢？

当波源以一定的速度v_s移动向着波的传播方向移动时，我们考察对波传播的波面产生了什么影响。

假设T为两个相邻波面W₁和W₂的发射时间间隔，在T时间内，波面W₁移动的距离是vT，波源移动的距离是v_sT。在T的时间末尾，波源发射出了波面W₂。

在波源S运动的方向上，W₁与W₂的距离也就是这个方向上运动的波长则是：vT-v_sT。所以波的频率变为：

反之波源的运动方向与波速相反，则为:fv/（v+v_s）

这其实就是多普勒效应。可以简单理解为：波源和探测器互相靠近则探测的频率变大，远离则变小。汽车或火车靠近人时我们听到的声音更加尖锐就是这个原理。

所以，当声源以声速运动时，根据上式，探测到的频率就会无穷大，这意味着声源的运动与自己产生波前同步了。

当声源超过声速时，波前就会落后波源。以球面波为例，所有波面都会聚集在一个锥面内。

波源以声速运动（左），超声速运动（右）的波前示意图 | 来源：[2]

这个锥面被称为马赫锥。这时就形成了冲击波，或者成为激波。

我们可以看到该锥形的半角θ，被称为马赫锥角。马赫锥角的值可以得到是：arc(sin(v/v_s))。其中v/v_s叫作马赫数。所以对于声波来讲，马赫数也就是声速的倍数。

激波会产生一个声音的突变，这是因为由于在马赫锥的表面波面的聚集，锥面在通过任何一个点时都会引起锥面表面压强的骤然升高而后降低，就会发生音爆。

压强的骤然减小还会导致空气的温度下降，从而使得水分子凝结而形成雾。这就是超音速飞机的周围往往会出现一层锥形云雾的原因。

与此同时，空气的折射率也会发生突变，所以也可以据此拍摄马赫锥的照片。

来源：[3]

根据我们前面所提的声强的概念，也可以知道，激波由于具有很大的速度，所以也会有很大的能量。

超音速飞机的飞行，子弹、炮弹的飞行都可以产生激波。

事实上，除了超音速的波源产生激波以外，激波产生的本质实际上是快速产生一个高压的区域。闪电雷击，火山爆发、太阳耀斑过程也都和激波有关。

最简单的产生激波的过程可以通过一个活塞模型来描述[1]。

设想在一个很长的开口的活塞管道中充满气体，活塞由静止开始运动并达到很大的速度，从而使活塞前面的气体快速受到压缩。

将这个过程看作很多微小的绝热压缩过程的叠加。第一个压缩波以速率v1向右传播，使温度升高到T₂>T_1， 其中

所以第二个压缩波在第一个压缩波扫过的气体中传播，并且在活塞的推动下速度又增加了一些速度，所以第二个压缩波的速度为

同理第三个压缩波速度更快。越后面的压缩波速度越快，总有一刻他们会追上第一个压缩波并叠加，突然形成一个很高的压强区域p₂，温度也会升高，速度很快，从而形成激波。

活塞管正激波压强突变面的形成

现在我们回头讨论纸炮，纸炮的响声实际上就是来源于其产生的激波带来的音爆。

但是，我们用手挥动纸炮的速度最多只有几米每秒，远远低于声速，所以纸炮只怎样产生激波的呢？

当我们甩动纸炮时，纸张在气流的冲击下快速展开，形成弧面。弧面由于受到两边纸的牵拉，从而具有很大的纸张应力。

圆弧面的动能转化成纸张截面上的压力波，使得纸张弧面快速收缩。在这一瞬间纸面的收缩速度就超过了声速，从而在纸面与空气的界面处形成激波。

与此同时，由于纸面展开的区域内部体积快速膨胀，外界空气可以向内加速膨胀，从而增大了回弹的弧面与空气的相对速度，从而增大了马赫数，使激波增强，从而发出响亮的音爆[4]。

总之纸炮的激波产生自在挥动过程中，纸面末端发生的快速形变过程。挥舞鞭子所发出的音爆声也是同样的原理。

part III 激波的应用

激波的分类有很多种，与气流方向垂直的激波称为正激波，和气流方向形成一个夹角的为斜激波，我们前面提到的马赫锥是圆锥激波。这些都属于直线激波。

实际上，真实的超声流动中，非均匀的弯曲激波才更为广泛，包括二维弯曲激波和三维弯曲激波。

激波的分类 | 来源：[5]

激波作为流体动力学的一个普遍的现象，最直接的应用就是用在空气动力学中影响飞行器的飞行。

比如飞机在超音速飞行时，根据我们前面的分析可以知道，飞机头部的空气中会产生激波，造成空气的压强突变，从而给飞机施加很大的阻力。

为了减弱激波强度，将机翼的前后端都做成尖的，从而产生斜激波。相比于正激波，斜激波造成的能量损失就少很多。

超音速飞行中透镜型机翼前后沿的斜激波 | 来源：[1]

而对于火箭的返回舱来说，则需要做成钝头。

这是因为返回舱在落回地球的过程中，由于和大气的摩擦，导致其周围的空气具有很高的热量，这时则需要钝头形成强的正激波。在快速压缩空气的过程中是的空气分子更容易碰撞电离，从而消耗掉热量，降低温度。

人们还利用激波的特性，开发特殊的高压高温环境来进行材料测试。

同样比如航天航空飞船的发动机的燃烧过程往往处于超声速或高超声速的条件下。这时可以通过构造激波管来模拟真实的航天发动机燃烧的热力学状态[6]。

激波管可以快速加热实验段端面附近的气体，使反射后的激波温度瞬时达到800-3000K，而且在升温过程中气体组分基本不变。

比如说利用激波管测量碳氢燃料的着火延迟时间，为碳氢燃料动力学机理的构建提供有价值的实验支持。

激波管可分为化学激波管、爆轰管。化学激波管一般用于研究燃料的燃烧、裂解。爆轰激波管通过爆轰的方式产生极强的激波，可用于高超声速大气再入飞行器真实气体效应、气动力、气动热等研究。

不同类型激波管示意图 | 来源：[6]

除了普通的气体以外，我们知道，等离子体是被电离后的离子化气体状物质，其动力学特性也可以用流体的方式来描述。所以也可以形成激波。

通过利用强激光激发一种靶材料电离出等离子体，当没有外加轴向磁场时，激光等离子体在真空中呈半球形膨胀，形成大角度发散束流。当外加轴向强磁场时，等离子体的横向膨胀会被限制并减速，直到磁场压强和等离子体总动压达到平衡。

在这个阶段外磁场会被挤压，等离子的边缘会形成密度较高的斜激波。在磁压梯度力的作用下，斜激波汇聚在腔的底端，形成锥形激波。等离子体也被约束在轴上形成高马赫数，高长径比的喷流[7]。

在有无强外磁场的条件下，激光照射靶材激发等离子体在真空中的膨胀示意图 | 来源：[7]

超新星爆炸、星风以及快速移动的星际气体团块之间的碰撞等过程也可以产生激波。恒星的形成、演化和死亡过程都与激波密切相关。

一方面，星际介质中的激波可能触发分子云核的塌缩，从而导致新的恒星的形成; 另一方面，新形成的恒星又会在演化过程中产生新的激波[8]。

总之，激波现象广泛地存在于我们的生活以及科研、工程之中。

当你再挥响了一个纸炮时，你所挥动的不仅仅是一个平平无奇的超音速玩具，而且其中还蕴含着火箭发射、恒星演化的原理。

我永恒不变的信仰，也化作此时指间跳动的电光！

参考文献：

[1] 力学. 漆安慎，杜婵英. 高等教育出版社，1997年第一版。

[2] Fundamentals of Physics. Halliday, Reshick, Walker. 6th edition.

[3] Shock wave - Wikipedia

[4] 简单的折纸为什么能发出爆响？纸炮压力波原理引发的登月火箭悲剧_哔哩哔哩_bilibili.

[5] 弯曲激波理论的高阶分析及应用, 施崇广，厦门大学博士论文，2021年。

[6] 基于吸收光谱的激波管内高温气体参数瞬态过程测量研究, 何东，清华大学博士论文，2021年。

[7] 极向磁场驱动的激光等离子体喷流和强太赫兹成像, 李尚卿，中国科学院大学博士论文，2022年。

[8] HC3 N，另一种激波示踪分子? 张江水等，广州大学学报，2012年，第21 卷第4 期。