上一期我们介绍了稀疏傅里叶变换SFFT，并将它与传统的DFT，快速版的FFT在运算速度上进行了比较。那么，稀疏傅里叶变换在实际生产应用中又能发挥出什么作用呢？由于稀疏傅里叶变换是一项很新的技术，对它的研究大多停留在理论阶段，因此我们在下面将要介绍的项目也都是理论上的。或许在不久的将来，他们就会面世了。

频谱共享

美国联邦通讯委员会FCC曾预言在2013年世界会迎来一次频谱危机。联邦通讯委员会主席朱利叶斯·格纳考斯基（Julius Genachowski）阐述称：“移动通信的爆炸性增长已经超越了我们的步伐。如果我们不采取行动以更新我们的21世纪频谱政策，就将碰壁——频谱危机——这将扼杀美国的创新和经济增长，并且浪费我们在移动通信领导全球的机会。”当然，这并没有发生。

从上面的频谱利用图可以看到，绝大多数的频谱并没有被利用，而有限的一些频谱利用率确高达100%。那么频谱危机的解决方案就呼之欲出了，那就是频带共享：需要寻找没有使用过的频段。但这就带来了新的问题：注意到我们已经利用的频带都处在低频段，我们想要充分利用高频段，但是GHz的信号该如何捕获呢？

要知道GHz的取样器是十分昂贵，而且高功耗的。数十个MHz级的ADC成本小于一美金，而且功耗低；但几个GHz级的ADC，成本却高达几百美金，功耗更是MHz级的数十倍！如此高的成本，让GHz信号的采集难以实现。

从频谱占用率图我们可以看出它满足稀疏的性质，如果采用稀疏傅里叶变换的原理，人们就能用三个50MHz软件无线电建立0.9GHz接收器。这是第一个能够捕获大于其自身数字带宽的稀疏信号的现成的接收器。而通过多个低速ADC的组合来实现GHz接收器，是很便宜而且低功耗的，解决了之前提及的矛盾。当然，多个MHz级ADC不能无限扩展频谱，因为随着MHz级ADC组合数量的增加，信息丢失率也会线性增加。也就是说，稀疏傅里叶变换是在用降低传送准确率的代价换取低成本。

医学成像

磁共振波谱（MRS）是一种新的脑功能检查技术和唯一无创性检测活体组织器官能量代谢、生化改变和特定化合物定量分析的技术。MRS的原理在某些方面与MRI相同，要求短的射频脉冲以激励原子核，采集到的信号称为自由感应衰减信号，将这种信号通过傅立叶变换变成波谱。

MRS成像的基本原理是依据化学位移和J-耦合两种物理现象。由于化学位移不同，不同化合物可以根据其在MRS上共振峰的位置不同加以区别。峰值在横轴上的位置代表物质的种类，波峰的高度或波峰下的面积代表物质的数量，化合物的含量亦可用图谱色阶表示。

MRS有两大问题，阻碍了在实际中的应用。一是采集时间过长，病人需要在机器中待40分钟-1小时才能完成采集。二是人工采集窗口容易造成波谱混叠，造成不同化合物之间难以区分。

我们都知道时域上的矩形窗函数在频域上是sinc函数。所谓人工窗口就是将矩形窗函数与单位冲击响应函数卷积：

但这带来一个问题就是对单位冲击响应函数的要求非常高。在没有延时的时候对卷积结果离散化采样时没有问题；但只要有延时，对卷积结果采样，就不再是一个冲击响应函数了，而是一个有一定带宽的频谱。这个频谱函数的尾巴会在采样后造成频谱混叠，使信号失真。

稀疏重构能够解决这些问题吗？答案是肯定的。

普通MRS采样结果：

稀疏重构后MRS采样结果图：

从上图的对比可以发现，稀疏重构能够使MRS采样结果去除混叠，而且没有丢失生物标识！事实上，采用SFFT能够在获取更清晰影像的同时减少3倍采集时间。

光场摄影

光场摄影的原理是通过在普通相机镜头(主镜头)焦距处加微透镜阵列实现记录光线，再通过后期算法(傅里叶切片定理，光场成像算法)数字变焦。

这样，光线通过主镜头后，打到微透镜阵列上，并再次成像。那么，放在微透镜阵列后的像素，尽管仍然只记录了光线的强度信息，但却因其相对于某个微透镜的位置而记录了光线的方向信息。即，如微透镜阵列是10*10，像素阵列是50*50，则每个微透镜分到5*5个像素，这25个像素分别记录了通过主透镜的25个不同位置并到达此微透镜的25根光线的强度信息。

这样，单纯用微透镜阵列和光电传感器，就相当于记录了通过主透镜的所有光线。在后期处理时，只需要对光线重新追迹即可完成重聚焦，因为光线在自由空间中的传播是可以用两个平面、四个坐标(四维量，学术上称为光场)来唯一表示的，而成像过程只不过是对这个四维光场进行了一个二维积分，从而得到了二维图像。光场相机相当于直接记录了四维光场，不同焦深的图像只不过是在做不同情况下的二维积分罢了。

简言之，光场摄影使用来自2D相机阵列的图像生成深度和透视。由于图像之间是相关的，这就导致4D图像频率是稀疏的。这就让通过稀疏傅里叶变换用更少的图像达到同样的效果成为了一个可实现的目标。从下图可以看出，用原始光场数据重构获得的图像和只用11%的原始光场数据重构获得的图像在视觉上几乎看不出差别，但在数据存储量上却节省了近9倍。

结语

1.许多应用在频域中是稀疏的，因此可以从SFFT中受益；

2.研究表明SFFT能够实现GHz低功率频谱感测和解码，并改进MRS医学成像和4D光场捕获的技术；

3.现在发现的仅仅是SFFT应用的冰山一角，更多领域应用还有待研发。

参考文献：

1. The SFT: From Theory to Practice

2. https://www.zhihu.com/question/20511442/answer/24066624

作者

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白玉晶 徐佩奇 赵永成

本文转载自

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电子伊甸园