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分形几何,处处惊艳,超凡脱俗!

民间数学家 返朴 2021-11-13

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生成令人目眩的分形图案的数学原理非常简单。


撰文 | 民间数学家


如此复杂、精细的图形


首先请先欣赏下面这幅图:



这幅图给人的第一印象是非常精细,而且细心的朋友可能会发现,这幅图的许多小部分放大后和整体非常相似。



比如我们把上图画框的部分放大,大家看:



再画个小框放大!里面还是大有乾坤!



这种图形的精细之处在于:无论你把哪个局部放大,无论你放大多少倍,你都会看到和整体类似的图形。


大家可以想象一下,这个图形到底有多复杂、多精细。而我要告诉大家的是,生成这个图形背后的数学原理非常简单!同样的数学原理,可以生成许许多多这样的图形(大量精美图片放在文章第三节,读者可先跳过欣赏)。 


背后的数学原理

为了理解这些图像背后的数学原理,我们需要三个关于复数的基础知识。


还记得这个方程吗?初中数学老师告诉我们这个方程无解,因为不论是正数还是负数,它们的平方都大于零。



上了高中后,高中数学老师却告诉我们这个方程有个虚数解,然后开始引入复数。


一、复数,指形如 x+yi 的数,其中x,y是实数,而i是满足 i²=-1 的虚数。复数的加法非常简单:(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i 。乘法稍稍有点复杂,但其实都是由公式 i²=-1 推导出来的。


比如

i•(2-i)=1+2i; i•(1+i)=-1+i;

(1+i)²=1+2i+i²=2i


一般的复数乘法公式是:

(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i


二、复数z=x+yi的模ⅠzⅠ是定义为: 



两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积。



这个结论可以由复数乘法公式和下面公式直接得到:



还记得初中时学过的一个重要知识吗:所有实数和数轴上的所有点一一对应?其实复数也有类似的说法。


三、复数和坐标平面上的点一一对应,复数 x+yi 对应坐标为(x,y)的点。根据勾股定理,复数的模就是对应的点到坐标原点的距离。





所以接下来我们会把复数看成平面上的点,平面上的点也会看成复数,重要的事情说三遍:

复数就是平面上的点!

复数就是平面上的点!

复数就是平面上的点!


现在我们可以来讲述精美图形背后的数学原理了。首先,给定一个固定的二次多项式 f(x)=x²+c ,其中c是固定的复数。接下来,任意的一个复数z,代入到多项式f(x)中,都会得到一个新的复数 f(z)=z²+c ,再把这个新的复数再代入到多项式f(x)中,又会得到一个新的复数 f(f(z))=(z²+c)²+c ,



一直这样做下去,就会得到一个无穷的复数序列,也就是平面上的无穷多个点。



如果这无穷多个点都落在某个以原点为圆心的圆内(说得专业一点就是,如果这无穷多个点是有界的)



也就是说,如果这些复数的模都会小于某个正数R的话,那我们就称 z 为良好点。所有的良好点构成的集合称为多项式 f 的填充朱丽叶集(filled Julia set),填充朱丽叶集的边界称为多项式 f 的朱丽叶集(Julia set)

  

复动力系统先驱Gaston Maurice Julia

 (1893 – 1978)


我们来看最简单的例子,多项式f(x)=x²的朱丽叶集。x²的作用就是平方运算,所以任何复数z不断代入这个多项式得到的无穷复数序列就是:



根据复数的模的乘法性质,这些复数的模分别是:



使得这个无穷数列保持有界的复数z,正是那些模小于或等于1的复数,而这些复数在平面上构成了单位圆盘(x²+y²≤1)。所以多项式x²的填充朱丽叶集就是单位圆盘,而朱丽叶集就是圆盘的边界,也就是单位圆周(x²+y²=1)。



这里的美,超凡脱俗,令人窒息


在mathematica软件中绘制朱丽叶集,虽然精度不是很高,但画出来的图形已经足够优美了。我们先来看一下,当c很小的时候,比如 c=-0.2+0.2i 时,多项式 x²+c 的朱丽叶集已经非常粗糙了,但至少还可以围成一块完整的区域。



c继续变化时,情况就完全不一样了,我们已经引领大家来到一个全新的美学世界,这里的美,超凡脱俗,令人窒息!


下面是 x²-0.77-0.22i 的朱丽叶集,我们在文章开始的时候已经见过了。



x²+0.365-0.37i 的朱丽叶集:大大小小的风车不停地转动。


x²-0.6358+0.682i 的朱丽叶集,光秃秃的枝干。



x²-0.55+0.64i 的朱丽叶集,长出枝叶。



x²-0.52+0.62i 的朱丽叶集,越长越茂盛。



x²-0.51251-0.521296i 的朱丽叶集:无穷无尽的锁链!



x²-0.5264-0.5255i 的朱丽叶集:锁链越拉越长。



x²-0.534-0.5255i 的朱丽叶集:越拉越细。



x²-0.54-0.5255i 的朱丽叶集:锁链终于拉断了。



x²-0.62-0.44i 的朱丽叶集,我们用绿色来填充,这样效果更好,像不像仙人掌。



x²-0.69-0.31i 的朱丽叶集,仙人球!



x²-0.691+0.312i的朱丽叶集:黑心花椰菜。



x²-0.6984+0.31i的朱丽叶集:花椰菜脱水。



x²+0.26 的朱丽叶集,这是猫头鹰家族吗?



x²+0.34-0.05i 的朱丽叶集,简直就是一只怪兽!



x²+0.375-0.083i 的朱丽叶集,怪兽被打碎了。



x²+0.42413+0.20753i 的朱丽叶集:另一只怪兽。



x²+0.3593+0.5103i 的朱丽叶集,怪兽被打弯了。



x²+0.338+0.489i 的朱丽叶集,怪兽又被打碎了!



x²+i 的朱丽叶集:闪电!闪电!



x²-1.75488 的朱丽叶集:灰机。



x²-1.38 的朱丽叶集:葫芦串?



x²+0.3-0.015i 的朱丽叶集:晴转多云。



x²+0.47-0.1566i 的朱丽叶集:云散了。



x²+0.02-0.66i 的朱丽叶集:烟花绽放!



x²-0.6843-0.3944i 的朱丽叶集:星尘?星云?



x²-0.0471-0.656i 的朱丽叶集:吞噬一切的黑洞。



x²-0.015-0.66i的朱丽叶集:蜘蛛网。



本文经授权转载自微信公众号「职业数学家在民间」。

作者简介

一位职业数学家,以学术为业,偶尔写写科普。


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