同调代数的起源和发展
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编者按
本文是有些哲学意味的科普文章, 后来被收入《交换代数与同调代数》[第二版，李克正著， 科学出版社 (2017)]作为一个附录。
近来出现了不少关于同调代数或范畴论的科普文章, 这有助于公众了解较深刻的数学, 拓宽对于数学的眼界，是很有积极意义的。不过其中有些文章从“数学基础”的眼光讲范畴论, 或者只讲范畴的抽象性, 未免有失偏颇，甚至可能对公众造成误导。
自 19 世纪后期开始, 很多数学家致力于将整个数学建立在集合论的基础之上, 这看上去很美妙, 直到今天也还有人没有放弃这样的努力。但早年的集合概念是“朴素直观”, 却有根本性的漏洞。一般人觉得集合不需要定义直接接受就可以, 但 1902 年罗素给出的“集合论悖论”击溃了这个信念, 使数学家不得不建立集合的公理体系。从哲学上说, 一旦建立起集合的公理体系, 集合论就不可能作为整个数学的基础了。而 1930 年代哥德尔的工作, 更是使数学界认识到，任何建立整个数学的“基础”的企图都是愚蠢的。
不过迄今为止大多数数学学科是建立在集合论基础之上的。比集合更一般的概念是范畴, 但如上所说, 即使范畴论也不能作为整个数学的基础。
范畴是比集合更深的概念, 很多人只看到范畴比集合更抽象, 然而范畴是有结构的, 这种结构的发现源自拓扑学。同调代数中的一些非常抽象的概念, 本是为了解决具体问题的, 而其最主要的价值也正是在于解决具体问题。只看到范畴等概念的抽象性, 类似于“买椟还珠”。
本文力求通过对于分割与粘合, 局部与整体, 连续变形, 自然性等直观在数学中的科学刻画和精准处理, 解释同调代数的产生背景、所解决的具体问题以及其对于数学整体发展所起的作用。
撰文 | 李克正（首都师范大学特聘教授）
引言
20世纪的数学与此前的数学相比，最显著的特点就是整体性。粗糙地说，20世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方法。研究整体性的根本方法是从拓扑学的建立开始的。而关于整体结构的研究，是在此前关于局部结构的研究已经相当成熟的基础上产生的。
同调代数源自拓扑学。最初同调的定义可以说是组合式的，后来发现同调还可以用其他方式定义，进而在其他领域（如微分几何）用相应领域的方法建立同调，就可以将同调解释为其他领域的不变量。这样同调的方法就逐渐渗透到很多其他学科，包括微分几何、代数、复分析与复几何、李群与李代数、代数数论、代数几何、表示论等，从而产生了很多种同调论，使同调成为数学中的一个重要工具。而这些互不相同的同调论又可以从统一的哲学观点去理解，这就产生了同调代数。在很多发展方向，同调的表现形式、相关结果和应用等离开拓扑学已经如此遥远，以至许多数学研究者在应用同调代数时，竟很难看到自己所采用的方法与拓扑学中的原始思想之间的联系。
本文希望通过对同调代数的起源和发展的观察，特别是从数学角度的理解，说明尽管现代同调代数的应用领域相互间相差甚远，应用形式千变万化，仍可以从其中的基本概念和方法追溯到拓扑学的原始思想。这些思想在今天应该说是数学中的（而不仅是某些数学分支中的）极为重要、基本而深刻的思想。
1
同调的起源
我们先来看看整体性和局部性的区别。
一个典型的例子是曲面的结构。例如球面和环面（图1）的局部结构是一样的，如果在球面或环面上取一小块（如图1中的小圆片），它们的结构都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体结构是截然不同的，如果将球面想象为橡皮，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘回去，那么不管怎样做这样的“拓扑变换”，也还是不能把球面变成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全了解了局部结构，仍然可能对整体结构毫无所知。
那么，怎样才能说明球面与环面不同胚呢？应该说这是一个困难的问题。如同数学中的很多难题（如罗巴切夫斯基几何不矛盾；五次以上的代数方程没有一般的解法；连续统假设不能证明；方程当时没有全非零的整数解；用圆规和直尺不能三等分任意角，等等）一样，我们不能将球面变为环面，并不是因为我们不够聪明，即使再聪明的人，也还是办不到。要说明这一点，一个基本的想法就是寻找“拓扑不变量”，就是找一种量，它在拓扑变换下不变。对于球面和环面，可以取它们的“亏格”，就是“洞”的个数：环面有1个洞，即亏格为1，而球面的亏格为0，由于亏格是拓扑不变量，这就说明球面与环面不同胚。
不过怎样才能定义亏格并说明它是拓扑不变量呢？最早拓扑学家（以庞加莱为代表的法国学派）建立的拓扑不变量是“组合式”的，他们将曲面分割成为小三角形，例如图1中的球面和环面可以分别像图2那样分割（左图中两段相同，两段相同；右图中两段按箭头方向重合，两段按箭头方向重合）。三角形自然都是一样的，关键在于它们是如何相互“粘”起来的（哪两条边按什么方向粘起来），这样就把整体结构问题化为组合问题。
我们可以将图2理解为用4个三角形“覆盖”球面或环面，在覆盖中三角形的边有交迭。注意图2中的线段是有“定向”的，例如两段只能按箭头所示的方向粘合，如果改变某些线段的定向，粘合起来将会得到不同的曲面。例如将图2中的线段定向改为如图3，则粘合后的曲面分别为射影平面和克莱因瓶。
用这样的方法就将（拓扑意义下的）曲面转化为若干个三角形相互“粘合”所得的图形，称为“复形”（而三角形则称为单形），这样就将曲面的拓扑结构的研究转化为复形结构的研究。
由图2我们可以清楚地看到球面和环面的一个不同点：如果我们绕着正方形的边框逆时针地走一圈，对于球面就是沿一条路来回走一次，而对于环面则是先依次沿两个圈和（见图1）各走一圈，再依次沿两个圈反向各走一圈。注意圈或在环面上无论怎样移动，也不可能收缩为一个点，而球面上任何一个圈都可以收缩为一个点，这是球面和环面的一个根本区别。
最早的同调方法就是研究圈能否收缩到一个点，在环面上有很多不能收缩到一个点的圈，但若一个圈经过移动可以变为另一个圈，则这两个圈应该看作是“等价”的，这样的话，对于环面我们只需要关心两个圈和就够了，因为其他的圈都可以通过绕和分别走若干次（包括正、反方向）得到（绕和走的次序没有关系）。后来，由于代数学家的加入，发现用“群”来刻画一个曲面上的圈的等价类非常合适，就是说所有这些圈的等价类组成一个阿贝尔群（两个圈和的“积”就是先沿走一圈再先沿走一圈），后来被称为(1维)“同调群”，记为，它是曲面的拓扑不变量。
我们来直观地看一下如何计算球面和环面的(1维)同调群。一个圈就是一条曲线，其起点和终点相同。而一个圈可以收缩到一个点当且仅当它可以被“填满''成为一个圆片，换言之它是一个圆片的“边缘”。在图2中，正方形内部的圈是不必考虑的，因为它们都可以收缩为点，所以只需要考虑边框。对于球，沿边框反时针方向走一圈相当于从经过走到再走回来，这个圈当然可以收缩为一个点，所以实际上没有非平凡的圈，即为零群；而对于环面，正方形的任一条边给出一个圈，上下两条边给出同一个圈，记为，左右两条边给出同一个圈，记为，这两个圈生成，沿边框反时针方向走一圈相当于沿走一圈，再沿走一圈，再沿反向走一圈，再沿反向走一圈，用群论的记号就是，注意正方形是可以收缩到一个点的，所以是平凡的圈，用群论的记号就是，即，这说明和生成的群是交换群，由此可见。由于环面和球面有不同的拓扑不变量，这就说明球面和环面不同胚。
用代数的语言我们可以如下处理。首先，如果是一个圈，我们可以把它记为一个形式和 ，注意这里的线段都是有方向的；对任一有向线段，定义它的“边缘”为形式差，我们记，这样有向线段的任意整系数线性组合就都有意义了（即可以理解为若干有向线段的并集，可以重复），而的定义显然可以简单地扩张到有向线段的任意一个整系数线性组合，且易见 是一个圈当且仅当 。
其次，对每个三角形也可以“定向”，即规定一个法线方向，一般是规定法线方向使得绕法线方向反时针转, 换言之，和法线方向组成一个右手坐标系。这样就和有相反的定向。规定的“边缘”为 , 则有。显然 的定义可以简单地推广到有限多个三角形的形式和 ，即 ；
如果规定 , 就和 的定义相容，即有 ，这样就可以将 的定义扩展到所有整系数形式线性组合 ()。令 为所有整系数形式线性组合 组成的加法（自由阿贝尔）群, 为有向线段的整系数形式线性组合 ()组成的加法 (自由阿贝尔) 群, 为点的整系数形式线性组合 () 组成的加法 (自由阿贝尔) 群, 则有一列群同态
也称为一个“复形”, 这是因为它给出了有向线段和有向三角形的所有关系, 从而也就给出了原复形的结构。由 有, 定义
分别称为 的第 2、第 1 和第 0 同调群, 其中 就是上面所说的圈的等价类组成的群。
我们在上面实际上给出了 的两个不同的定义，第一个定义比较直观，由此见 的结构只与 的拓扑结构有关，即在“拓扑变换”（同胚）之下保持不变。第二个定义，在计算过程中需要用到一个“剖分”（即将 分割成同胚于三角形的块）。这两个定义是等价的，因此可以通过相当随意的剖分来计算 ，但这两个定义的等价性的证明颇不简单（见下节）。注意 是有限生成的阿贝尔群，它的秩等于 ，其中的 就是 的“亏格”。
点、线段和三角形可以推广到高维，如四面体（见图4），在一般情形称为“单形”。对高维流形的拓扑结构也可以通过剖分为单形转化为组合问题来研究，即化为“复形”的结构问题。所谓复形就是有限多个单形通过边缘的“粘合”而得到的拓扑空间，而所谓“粘合”用数学的语言说就是给出一个等价关系而构造商空间。
高维单形也是有“定向”的，为说明这一点，我们考虑由单形建立的坐标系：由 维单形 可以建立 维实线性空间的一组坐标系，以 为原点， 依次为坐标轴。如果交换 和 ，即考虑单形，则 给出的坐标系相当于对 给出的坐标系做一个坐标变换，变换矩阵为在 1-2, 2-1, - ()处为 1 而在其余处为 0 的矩阵，其行列式为 ，这说明 与 不同向，即在 维实线性空间中必须经过反射才能将 变为 。由此及归纳法可见对 的任意置换 ，单形 与 同向当且仅当 是偶置换, 故我们规定
其中 当 为偶置换时为 1，而当 为奇置换时为 。只有给出单形的定向才能说明如何将单形粘合成复形。
设拓扑空间 可以“剖分”为一个复形, 记 为其中所有 维单形的所有整系数形式线性组合组成的加法（自由阿贝尔）群, 并推广 , 的定义：
(4) 的右端称为一个“交错和”。显然 (4) 可以扩展为一个群同态 ，不难验证对任意 有
简言之“交错和的交错和为 0”，这是组合学中的一个简单而基本的重要事实。
如同曲面的情形, 一个 维复形也给出一列群同态
也称为“复形”，并可定义其第 同调群 () 为
这是因为由 (5) 有 。
我们注意，每个 说明了各 维单形与各 维单形之间的关系，这些关系完全决定了整个 维复形的结构，从而完全决定了 的拓扑结构，因此 是完全有资格被称为复形的。不仅如此, 如果给定一个 ，用上面所说的构造商空间的方法，就可以构造出一个拓扑空间 ，它具有一个复形结构，与 一致。
2
奇异同调和同伦
在上节我们谈到，对一个曲面任意剖分，可以计算得到亏格 ，它在同构之下与剖分的选择无关。由随意的剖分可以得到确定的量，这真是一个奇妙的事实。但这一事实并不是在拓扑学产生后才发现的。早在 18 世纪，欧拉就发现每个多面体的顶点数 ,棱数 和面数 满足关系式 。注意，这里所说的多面体，都是可以收缩到一个点的，所以其表面同胚于球面。用拓扑学的话说, 就是无论怎样将球面剖分为多边形，总的顶点数 , 边数 和多边形数 满足欧拉公式 。但对于一般的紧致曲面 的剖分, 这一公式须改为 (这就是所谓“欧拉示性数”)，其中 为 的亏格。
一般地，对于拓扑空间 的一个剖分，由 所得到的同调群都是 的拓扑不变量，但要证明这一点并不容易，因为剖分有很大的随意性，需要证明对于不同的剖分，所得的同调群都是一样的（严格地应该说是“典范同构”的）。
一个很好的想法是考虑所有可能的剖分，这就只与 有关了，具体做法是这样：对任意非负整数取定一个“标准的”单形 ，考虑所有连续映射 ，将它们的有限整系数形式线性组合的集合记为 ;对任意 ()，定义 为将 分别映到 的线性映射，并由此定义“边缘映射”
这样就定义了一个群同态 ，且易见(5) 成立，从而给出一个复形
称为 的“奇异复形”。显然 是 的拓扑不变量，称为 的第 奇异同调，以下简记为 。
对于一个给定的剖分，每个 可以看作 的子群，而 的定义在 上和 上一致。令 为嵌入映射，则 诱导群同态
我们下面将看到 是同构，故 的拓扑不变量 可以通过计算 得到。
为证明 (10) 是同构，一个关键的想法是同伦。直观地说，若一个子空间 能在 中“连续地变到”另一个子空间 ，则称 和 是“同伦”的，而同伦的单形在计算同调时是可以相互替代的。准确的数学定义是: 令 为单位线段 , 若 为一个连续映射, 则称两个子集 和 是同伦的（参看图5。特别地, 若 为一个连续映射，则两个 维单形 和 是同伦的。注意 可以看作一个 维复形，由图5可见它的边界由 , (注意定向) 和 组成, 而 又可以化为 的元，这样在计算 时就可以将 的生成元 换为 ，从而减少生成元，最终只需要 的生成元就够了。用复形的语言表达就是：对每个 可取一个群同态 ()，使得存在复形同态 ，满足
上面的事实可以总结为
定理 1. 任意拓扑空间 的各奇异同调 均为 的拓扑不变量 ()；若 具有复形结构, 相应的复形为 , 则有典范同构 ()。
如同上节的直观理解， 说明 中“圈”的情况（有没有不能收缩的圈，如果有，这样的圈中有几个相互“独立”的，还有更复杂的例如图 3 的情形等等），不难看出 为自由阿贝尔群，其秩等于 的连通分支的个数。对一般的 的拓扑意义，是需要花工夫去理解的。人们后来逐渐发现很多数学对象或性质可以表达为同调，同时又有很多同调有待理解。
设 为另一个拓扑空间, 对应的奇异复形记为 （其中的边缘映射记为 ）。设 为一个连续映射, 则对任意连续映射, 为连续映射，这诱导一个（自由阿贝尔）群同态 ，且易见有
我们说这给出一个复形同态。由 (12) 易见对任意 , 诱导一个群同态
两个连续映射 称为“同伦等价”的，如果存在连续映射 使得 , 。若两个连续映射 使得 与 同伦等价，且 与 同伦等价，则称 是“同伦”，此时由上面的讨论过程可以看出， 与 同伦等价，而 与 同伦等价, 故 为同构 ()。总之有
定理 2. 设 为扑空间的连续映射，则对任意 ， 诱导同调群的典范同态 。若 是同伦, 则 是同构 ()。
特别地，注意 与一个点组成的复形 同伦，故有
推论 1. 设拓扑空间 同胚于 ，则对任意 有，而 。故对 的任意 维面 及任意 ，若 ，则存在 维面 及 使得 。
注意这里给出了一个并不简单的组合事实。
复形、同调和同伦的概念，后来都被推广到很多其他学科中。
3
覆盖和预层
在第一节中我们说到， 完全决定了可剖分的拓扑空间 的拓扑结构。对剖分的方法，即分割-粘合的方法，也可以换一种方式理解。记 为 维单位球的内部。设 为 维流形, 则对任意 可以取 的一个开邻域 ，使得 同胚于 ，换言之对 可取同胚于 的开集组成的开覆盖。直观地说， 是由一些 维球“粘”起来的。若 为两个同胚于 的开子集，记 , 分别为相应的同胚，则它们在 上的粘合可以理解为一个同胚 。若 同胚于 的开子集（参看图 6），则开嵌入 给出一个开嵌入，同样开嵌入 给出一个开嵌入 ，而 。易见 由 和 决定，而所有这样的 组成 的一个开覆盖, 故所有这些 可以决定粘合 。
且对任意 , 有
记 为映射 , 则 (14) 可改写为
我们称 为一个“预层”。不难看出 完全决定 的拓扑结构：对两个同胚于 的开子集 ，由上所述可见粘合 由所有 给出的 完全决定，而 的拓扑结构可由所有同胚于 的开子集之间的相互粘合完全决定，故可由 给出的信息完全决定。这里我们可将 看作一个抽象的集合，记 为所有映射 的集合, 则 可看作一个映射 , 满足 (15)。只需知道集合 和映射 就可完全知道 的拓扑结构，因为这些信息已经说明 有哪些同胚于 的开集及它们通过什么方式相互粘合, 这些粘合方式都可由 中的开嵌入给出。因此, 由 得到的任何信息都是 的拓扑不变量。
注意上面的方法反过来是不能成立的, 即如果任给一个集合 及一个满足 (15) 的映射 ，不一定有流形 使得 像上面那样由 给出。不过，如果对 加上适当的条件，这样的流形是存在的，问题在于什么是“适当“的条件。
设 是另一个拓扑空间，则它也对应于一个预层 ，其中 为所有开嵌入 组成的集合。如果 是一个开嵌入，则对任意 有 ，这给出一个映射
易见对任意 有交换图
我们说 给出从 到 的一个“自然变换”。反之，如果给出从 到 的一个自然变换 ，则对 的任一同胚于 的开子集 , 为 的同胚于 的开子集, 且 给出同胚 , 易见所有这些同胚都是相容的（即对任意 有），故它们合起来给出一个开嵌入 , 满足 。
特别地，若 是同胚，则 诱导自然变换 ，且显然有, ，此时我们说 是一个“自然等价”。总之我们有
定理 3. 任意拓扑流形 给出一个预层 如 (15)，它唯一决定 的拓扑结构。若 是另一个拓扑空间，对应于预层 ，则一个开嵌入 等价于从 到 的一个自然变换 。特别地， 是同胚当且仅当 是一个自然等价。
4
上同调及其推广
设 为一个拓扑空间， 为 所对应的奇异复形 (见第二节)。对任意 , 令 （即阿贝尔群 的对偶），则对任意 , 诱导同态 ，且显然有 ()，这样就得到一个“上链复形” ，它和复形 (亦称``链复形'') 的区别是指标从小到大（而链复形的指标则是从大到小），这只是记号上的区别，实质性的区别是 从 0 开始而 到 0 为止。与同调类似地可以定义“上同调”
显然上同调也是拓扑不变量。此外，若 为拓扑空间的连续映射，则 诱导典范同态 ()，注意它的方向与 相反。
注意 的元可以看作 的 维单形的集合上的整数值函数，不难将此推广到更一般的“函数”，例如可考虑取值在一个阿贝尔（加法）群 中的函数，即将上面定义中的 换为 ，这样仍可以得到一个上链复形 , 由此得到的上同调记为 ()，当然也是拓扑不变量。令 为 中所有 维单形的集合，，则 的元可以看作 上的局部常值函数。如果取 ，还可以考虑 上的连续的函数组成的复形。
若 是拓扑流形, 则可以用下面的方法计算上同调: 对每个 , 记 （见第三节），且对每个 及 () 记 为投射 。
对任意 , 记 。对任意开子集 , 记 为
上取值在 中的函数全体组成的加法群。这样对任意 ， 给出 上的函数 。这样就定义了一个群同态 。若 则令 为 0。定义
由“交错和的交错和为 0”的原理（见第二节），易见 ()，故若记 ，则得到一个上链复形 ，称为“切赫复形”, 其同调称为“切赫上同调”，记为 ()。利用同伦不难验证有典范同构
此外, 若在 中任取 的一个开覆盖代替 , 则 (19) 仍成立。
综上所述有
定理 4. 对任意拓扑流形 及任意阿贝尔加法群 , 令 为 中所有 维单形的直并， 为 上取值在 中的局部常值函数（或连续函数, 若 有给定的拓扑) 全体组成的阿贝尔加法群, 则得到一个上链复形 ,其上同调 () 都是 的拓扑不变量。若 为拓扑空间的连续映射,则 诱导典范同态 ()。若 是拓扑流形，在 中任取 的一个开覆盖 ，则由 (18) 可以定义切赫复形 ，相应的切赫上同调 典范同构于 ()。
由此可见，对一个拓扑流形 ，一个 的元相当于对任意 给出一个函数 , 使得对任意 有 , 而这恰等价于 上的一个函数 , 换言之
注意若 而我们考虑连续函数，则 (20) 给出关于 上的整体连续函数的重要信息。
对 的意义的解释较为复杂，有多个方面的应用，如纤维丛和扩张等。
上面的方法可以很自然地推广到一些其他的几何学分支。在微分几何中, 对一个微分流形 可以取 为所有微分开嵌入 组成的集合，则和定理3类似， 给出一个预层，而 在微分同胚之下由 唯一决定。取 为 上连续可微函数全体组成的阿贝尔加法群，则和定理 4 类似地可以定义切赫复形，相应的切赫上同调是微分几何不变量。特别地 可以看作 上的整体连续可微函数的集合。
类似地，在复几何中，对一个复流形 可以取 为复单位球到 的所有复解析开嵌入组成的集合，则和定理 3 类似， 给出一个预层 ，而 在复解析同构之下由 唯一决定。取 为 上复解析函数全体组成的阿贝尔加法群，则和定理 4 类似地可以定义切赫复形，相应的切赫上同调是复几何不变量。特别地 可以看作 上的整体复解析函数的集合， 可以看作 的皮卡群 (关于皮卡群的概念参看复几何或代数几何教科书)。
上面的方法也可以用“层”的概念来说明。直观地说, (20) 的实质是将整体函数分解为局部函数再“粘”起来, 这提示我们在研究整体性质时, 不仅要考虑整体函数（即 上的函数）， 而且要考虑局部函数，即定义在每个开子集上的函数，在大开集上的函数可以限制在小开集上，所有这些资料合起来称为一个“函数层”。一个函数层可以给出关于 的拓扑结构的很多信息。（对微分流形我们关心连续可微函数层, 而对复解析流形我们关心复解析函数层。）层可以看作预层的特殊情形（参看[14]，例Ⅻ.1.1）。我们下面将看到，预层和层可以用函子的语言来刻画。
一般说来，一个几何分支所研究的对象是一类“空间”，它们通常具有某种拓扑结构，并有一类特定的函数，这些函数通常是局部的（即定义在开子集上），对此可以用函数层来准确地表述。函数层给出几何结构的重要而基本的信息，例如 维微分流形可以定义为一个带有函数层的拓扑空间，局部同构于 及其上的连续可微函数层，若将空间分解为同构于 的开子集的并，则函数层说明如何将这些开子集粘合。
和同调的情形类似（参看第三节），若 同胚于 ，则对任意 有 ，这说明 （或切赫复形 ）在指标 处都是正合的。对于一般的 ，由此可见对任意同胚于 的开子集， 和 在 上的限制在指标 处都是正合的, 换言之 和 在指标 处是“局部正合的”。如果在 (或 ) 前面再加上一项 ，则由 (20) 可见所得的复形是局部正合的，称为 的一个“预解”。
一个复形如果在指标 处都是正合的，则称为“零调的”。由上所述 和 的每一项都是零调的，上面说的 的预解称为“零调预解”。考虑到同调的组合特性，就可看到对 的任一零调预解 都有 （前面所说的预解只是一些特殊情形），对此不难利用同伦证明。
明白了这一点，我们在计算同调时就不必局限于使用上面的两类预解，而可以相当自由地选择方便的零调预解。这样就可能将同调应用于更广的领域。
例如在代数学中，考虑一个环 上的模 ，其上的“函数”可以理解为 -模同态，其中 是另一个 -模。此时 本身作为 -模是零调的（用代数的术语说， 保持正合性），可以担当上面的 或 的角色。由此可以``分解'' , 即给出一个正合列
其中每个 是 的一些拷贝的直和。注意这里并没有要求 有拓扑结构，倒是有代数结构。不过由于“分解的组合特性”（参看前面剖分、覆盖等的组合特性），分解 (21)
可起与剖分、覆盖等类似的作用。这里我们遇到的本质上还是交错和，这一点由科斯居尔复形（参看[14, XV.2]）可以很明显地看到。
对 (21) 去掉 再应用 ，就得到一个相当于上面的 的上链复形
其第 同调记为 。与奇异同调类似， 在同构之下由 唯一决定（即与 (21) 的选择无关），要说明这一点只需把同伦的概念搬过来（注意同伦也可以用组合的方式表达）。至于这些同调的意义，我们知道 ，而 可以看作 -模的“扩张” 的等价类的集合。
5
同调代数的产生
同调代数约形成于 1940 年代中期，现在我们所能查到的最早文献是 S. Eilenberg 和 S. MacLane的几篇奠基性的论文（见[3], [4], [5]）。我们来简略地看一下当时和后来建立的基本概念和方法。
上节中的 , 等可以推广到更一般的“函子”概念，第三节中的 也可以看作函子，而函子的一般概念需要建立在“范畴”的框架下。（范畴的概念需要通过大量的例子来理解，参看[14, Ⅺ]。）范畴是比集合高一个层次的概念，因此可以突破集合论框架的局限，例如可以考虑不同的范畴之间的关系。（尽管如此, 现在的大部分数学仍是建立在集合论的框架之下。）另一方面，范畴又比集合有更丰富的内在结构，这就是“态射”。这里可以隐约看到拓扑学的影响，例如一个拓扑空间 就可以看作一个范畴，其“对象”是 的所有开子集，而态射是开子集之间的包含映射。然而，沿着范畴的方向可以走得很远, 例如可以考虑一些抽象的交换图的范畴。
函子的概念可以看作集合论中的“映射”概念在范畴论中的提升，即为两个范畴之间的“映射”。由于范畴中有内在结构——态射, 函子必须是“保结构”的，即将态射映到态射，并保持态射的合成。一个任意范畴到集合范畴的函子称为“预层”。对于一个拓扑空间 ，我们可以将它看作一个范畴，其对象为 的所有开子集，而态射就是开子集之间的包含映射 （如果 ）；如果 是 维拓扑流形，也可以将这个范畴改为所有同胚于 维单位球的开子集组成的范畴。我们在前面（第三节）已经看到预层的重要作用：一个流形的拓扑结构可以由相应的预层唯一决定，因此经常可能将拓扑问题转化为较简单的集合问题。这一原理可以推广到很多领域，通称为“抽象废话”，它们尽管是“废话”，却很有用，甚至是强有力的。由此可见，同调代数的作用并不仅仅是给出“同调”。
当然，同调代数的一个最重要的作用是将同调的概念和方法建立在一个一般的框架上。一类重要的情形是“阿贝尔范畴”，它是阿贝尔群、模等范畴的推广，典型的例子有拓扑空间上的阿贝尔群层范畴等。尽管同调理论不一定要建立在阿贝尔范畴上，迄今为止大部分同调理论都是建立在阿贝尔范畴上的。对于阿贝尔范畴，我们通常通过投射或内射预解来建立同调。
拓扑学中的同调论的很多概念和方法都可以推广到很一般的情形，例如短正合列诱导的长正合列，屈内特公式，迈耶-菲托里斯序列，同伦，谱序列等（参看[14, XIII]）。
在哲学上，这些概念和方法都可以理解为处理“局部和整体的关系”。对于“局部”，除了像上面那样从剖分或覆盖的角度理解外，还可以从“局部函数”的角度理解：设 是拓扑空间，，一个“ 附近的局部函数”是指定义在 的一个开邻域 上的连续函数，我们只关心函数在 附近的值，就是说，两个函数如果在 的一个开邻域上相等，就看作同一个函数。用交换代数的语言说，所有 附近的局部函数组成一个局部环 ，其中所有在 点取值 0 的函数组成它的极大理想 。这个概念很容易推广到其他几何：在微分几何中，我们关心的是连续可微函数，此时我们 为 附近的连续可微函数组成的局部环，其极大理想仍是所有在 点取值 0 的函数组成的理想 ；在复几何中，我们关心的是复解析函数，此时我们取 为 附近的复解析函数组成的局部环，其极大理想仍是所有在 点取值 0 的函数组成的理想 。这个概念和前面所说的层的概念有密切的联系，因为层原本是考虑所有局部函数而得到的概念。
如果考虑代数流形，自然就应该取 为 附近的代数函数组成的局部环，而代数函数就是多项式函数的商（即分式），由此就可想到在一般的代数对象（包括数论对象如整数环）中，函数环（或数环）的“局部化”就是用一些函数（或数）作分母。不过这样的局部化有时还嫌不够``局部'', 因为一个分式 ( 为多项式函数) 的定义域还很大,
不像解析函数那样可能只在一个有界的开集上有定义。因此这样的函数环的结构仍可能很复杂，具有某种整体特征。一个进一步“局部化”的方法是形式完备化, 即取所有的形式幂级数，这包括了所有的解析函数，但很多形式幂级数不是解析函数，没有解析函数那样好的性质，而这样得到的函数环的结构比解析函数环还要简单，可能更适合作为粘合的基本“砖块”。
我们在下一节还将看到在更广范围的“局部”概念及其意义。
我们注意，在拓扑学中对“局部”的理解已经与此前的几何学很不相同了。例如在实分析中，一个数 的“附近”是指一个邻域 ，这里 是一个充分“小”的正数，但这样的定义离不开大小关系；而在拓扑学中，一个点 的“附近”是指 的一个开邻域，这样就不需要考虑大小关系 （这种定义可以使问题简化，更有利于抓住问题的关键）。实际上，在应用同调代数的很多领域除了包含关系外未必还有其他的大小关系，而在这些领域仍可以理解“局部”，但即使在直观上也未必能把局部“理解为小范围”。例如在代数几何中采用的察里斯基拓扑，其开集都是“很大”的，在代数学中的多项式环、自由模等也常被看成局部''的对象，这里的“局部''也没有小”的意义。
理解了“局部”，就不难理解同调是处理局部和整体的关系的工具，在哲学上我们仍然可以认为整体是由局部“粘合”起来的，而粘合自然应该具有“组合特点”。这一点我们在下一节还会从其他角度看到。
一般地可以将零调对象理解为具有某种“局部性”，所以取零调预解就可以看作将整体“拆开”成为“砖块”（局部）。
函子之间的映射“就是自然变换”，我们在前面已看到，如果用预层来决定拓扑流形，则拓扑流形间的开嵌入就等价于相应的预层之间的自然变换，这这一原理同样可以推广到很多领域，一般也是抽象废话。如果建立了这些函子的同调理论，则自然变换经常可以给出同调之间的“映射”，准确地说是同调函子之间的自然变换，而且这些自然变换之间还有一些自然的联系。
在哲学上，数学研究的对象从根本上说是来自自然界，因此研究的对象和方法是否“自然”就非常重要。“自然”的反义词是“人工”，那些生硬的或凑合的构造、随意的或无理的条件、与客观事实明显相悖的假设等都属于这一类。但在数学中什么是“自然”呢？自然变换的概念启发我们对这一问题的理解。例如，设 为所有有限（加法）阿贝尔群的范畴，一个有限阿贝尔群 到自身有一个同态 ，将每个元 映到 ，这个同态对所有阿贝尔群是一致的，用范畴论的语言说，可以看作 到自身的一个自然变换，所以我们说同态 是自然的（也说它是“函子性”的）。另一方面， 与其对偶 总是同构的，但我们没有一个“自然”的方法给出同构 （对每个 只能“人工”地给出一个同构 ，而且这种构造一般不是唯一的），换言之没有“函子性”的同构 。这是因为，如果有一个有限阿贝尔群的同态 ，则 自然地给出一个同态 ，而不是 ！
“自然”的概念同样可以追溯到拓扑学。如第三节中的函子 就不是可以随意构造的：需要对每个 同时给出 ，要保证它们相容是很高的要求。尽管这样的构造是经常需要的，但流形归根结底不是被“构造”出来的，而只是被“发现”的，它们本来就存在于自然界。
由于拓扑学的一些基本思想和方法已经渗入几乎整个数学以及物理等其他学科，在今天不变量、不变性质等概念已经深入人心，这在同调代数上的一个表现是对“典范性”（等价于函子性或自然的）的深入理解和重视。例如，一个微分流形（或解析空间、概形等）上有很多层，但人们特别注意典范的层，如微分层，其重要性与其典范性密切相关。又例如, 对于一个诺特环上的有限生成模，菲廷理想具有典范性（参看[14], 习题VI.6），而其重要性也是与其典范性密切相关的。
总之，同调代数的基本概念如范畴、函子、自然变换、函子的同调、抽象废话等都是很自然地产生的，它们给出了一个很宽广的框架, 可以应用于很多领域，给出不变量、不变性质、等价和约化的方法等（详见第Ⅺ, Ⅻ, XIII章）。还应指出，范畴虽然比集合在逻辑上高一个层次, 仍有更高层次的数学概念，如二范畴（two category）。
同调代数不仅给出强有力的数学工具，给出新的数学课题，而且使数学家从更高的视点观察和理解数学，形成新的哲学理念。
6
同调代数向各数学领域的渗透
同调代数逐渐渗透到数学的很多领域，其中有些领域与拓扑学相距甚远，以至很难看出其与拓扑学中同调的原始思想的联系。我们下面来看几个领域中的初步例子，希望由此说明，虽然有些领域看上去与拓扑学相距遥远，但从其中的同调仍能看到同调论原始思想的内核。
例 1. 纤维丛.
拓扑学中的纤维丛是指局部平凡族。详言之，一个拓扑空间的连续映射 称为 上的一个纤维丛，如果存在一个拓扑空间 ，使得对任一点 有一个开邻域 及一个同胚 ，
满足 。此时 称为这个纤维丛的纤维。 当然是一个纤维丛，称为平凡的纤维丛。一般的纤维丛虽然局部（即在足够小的开集 上）结构和 一样，但整体结构却可能不同。例如设 为圆周， 为线段，则有两个熟知的纤维丛，一是环带，另一是默比乌斯带（图 7）。这两个纤维丛是显然不同的，因为前者是双侧的而后者是单侧的。
由于纤维丛也是局部平凡而整体不平凡的一类数学对象，很自然地可以应用同调的思想和方法来研究。简言之, 就是把纤维丛的结构归结为平凡纤维丛如何“粘”成整个纤维丛的问题，从而用一种同调来刻画。
构造纤维丛需要将平凡的纤维丛“粘”起来，但如同上节对流形所说的，纤维丛归根结底不是被“构造”出来的, 而只是被“发现”的，它们本来就存在于自然界。如果“粘”不起来，那就是有“障碍”，而障碍也是可以用同调来刻画的。
纤维丛不仅在拓扑学中,也是其他几何分支中的重要对象。向（空间）丛就是其中常见的一类，例如在微分几何中，设 （即圆周），, 则 为 上的平凡平面丛，它有一个子丛
这是 上的一个非平凡直线丛，它像默比乌斯带那样，是单侧的。与此对照，一个平凡实直线丛 则为圆柱面，是双侧的。向量丛的概念可以推广到复几何、代数几何、数论等。
纤维丛与层有密切的关系，例如向量丛就等价于局部自由层。这里我们要推广层的概念。在上节我们看到，一般的预层就是一个范畴 到集合范畴的反变函子，对于一个拓扑空间 ，可以取 为 的所有开子集组成的范畴。一个预层中的元（称为“截口”') 一般还不能看作函数，因为一个函数是由它在各点的值唯一决定的。对函数的值域则可放宽限制，例如可以考虑向量值函数。这样，对预层加上一些必要的条件，就可以将第四节中函数层的概念推广到一般的层的概念（参看[14], 例Ⅻ.1.1）。下面我们还会看到其他重要的层。
对流形上的向量丛的同构分类, 引导出一类同调论—— -理论，这种理论后来又渗透到代数、数论等学科中，成为又一个强有力的工具。
例 2. 群的同调.
考虑一个流形 的自同构 。若 为同构于单位球的开子集,则 给出 的两个同构于单位球的开子集之间的同构映射。注意任意两个同构于单位球的开子集之间总有同构映射，但它们不一定能“粘”成 的自同构。不难看到，局部的同构映射能否粘成 的自同构的问题，也可以化为同调的问题。
的所有自同构组成一个群 。我们经常需要研究一个给定的群 在 上的作用，这等价于一个群同态 。因此，这样的作用是否存在也经常可以化为同调的问题。不仅如此, 同调还经常可以给出构造群的作用或同态的途径。
群及其作用在很多领域都会遇到，因此上面的想法被应用于许多不同的学科，其表现往往千差万别。例如在代数学中，考虑一个群 在模上的作用，就给出一个函子, 将一个模 对应于其中的 -不变元组成的子模 。这个函子的同调可以用来研究 -模的结构和扩张等。这里所用的预解中，边缘同态也是一种交错和。
在数论中常考虑的群是伽罗瓦群，相应的同调就是伽罗瓦上同调。
对于一般的群的同调问题，常常也可以从局部与整体的关系的角度来理解。例如对于一个有限覆盖 及一个群 在 上的作用 ，是否 可以提升为 在 上的一个作用，一般局部总是可以提升的，而整体上是否能够提升就是“障碍”问题，可能转化为同调来研究。如果将 换成模的同态或某些其他范畴中的态射，那么离开拓扑学就很远了（参看第四节中模的扩张）。
如果我们沿这个方向深入探讨，会发现群的作用与整体几何结构有很多类似之处（参看[15, IX]）。
在哲学上可以这样理解：我们经常需要研究某个对象 的运动（或对称性），如果考虑 的某一类运动的全体组成的集合 ，那就进入了群论，因为 是一个群，而 的这一类运动就可以理解为 在 上的作用。因此群的作用所表现出来的整体性是由于它代表了所有这一类运动。例如当 为单位球而对称性为刚体对称时, 绕一条固定的轴作小角度旋转可看作“局部的”运动，而所有运动组成一个同构于 的群，它在 上的作用是可迁的，自然会给出关于 的整体结构的信息。
例 3. 德拉姆复形.
对于一个微分流形 ，一个自然而又极重要的层是微分层 ，它的 次外积就是外微分层 。外微分可以推广到任何有微分结构的几何中，甚至代数中。
所有 给出一个“德拉姆复形”
这里 为外微分映射，它实质上也是一种交错和（模去一些等价关系, 参看[15, I.2.3]）。德拉姆复形的同调，即德拉姆上同调，是非常重要的不变量。
如果有一个连续群 作用在 上，就会按例 2 的方式给出一个复形，这个复形与
之间有一个典范同态，给出两种交错和之间的联系（参看[15, III.2.3]）。
在上面的几个例子中，以及很多其他的情形，同调的计算常需要先选择一些不确定的量，而通过计算可由这些不确定的量得到确定的量，这是与以往的数学有显著区别的一个特点（以往的计算都是由确定的量计算确定的量）。
例 4. adele.
局部和整体的关系的概念也被引入数论。和代数函数类比（见上节），整数环 的局部化就是添加一些分母（给出一些有理数组成的环），而且还有更强的局部化，就是完备化，直观地说就是取极限。例如实数和 -进数都是由有理数取极限得到的。
设 为数域（即有理数域 的有限扩张），每个 的赋值（参看14, II.4）称为 的一个“位”，对每个位 有一个 的完备化 ，直积 给出 的所有“局部”信息，称为 的adele 环。一般来说，一个困难的问题在局部化后会变得较为容易。有些问题只要把局部情形都解决就完全解决了，但并非总是如此，因为所有 之间并非完全相互独立，而是有整体的关联的。一个重要的整体关联就是“互反律”。因此在较深入的研究中经常要顾及局部-整体原则。
7
Grothendieck建立的一般同调理论
前面我们已经看到，同调的概念和方法可以推广到很一般的范畴和函子。但是所得到的同调可能很抽象，常常需要花很大的工夫才能具体地理解。而且所得到的同调不变量能解决什么问题，能否满足我们的需要，也常常是个问题。Grothendieck 对于拓扑学和同调代数有非常深刻的理解和洞察。在1960年代，他在代数几何中建立了一套一般的同调论框架，在这个框架中填入一种具体内容就得到一种同调，因此可以根据具体需要填入不同的内容而得到不同的同调理论。
前面我们已看到，预层是可以推广到很一般的范畴的，但层却不然。仔细观察层所需要满足的条件就会发现，为在一个范畴 上定义层，需要 中有给定的“覆盖”，这是一类态射，满足几条基本公理。这种范畴称为“site”。对一个 site 可以定义层，包括群层、模层等，即可取不同的“值域”。如果所取的“值域”是阿贝尔范畴，则所有层组成一个新的阿贝尔范畴，称为一个“topos”。如果在一个 topos 中有足够的投射对象或足够的内射对象（一般不会同时都有），则对 到另一个阿贝尔范畴 的加性函子 可以定义同调函子 或上同调函子 , 它们满足同调的一般性质。
自从 Grothendieck 建立一般同调理论的框架后，很多学者用它建立了不计其数的同调论，有时甚至仅为解决一个问题就建立一种同调。对于算术代数几何，后来起作用最大的新同调论是平展上同调和晶体上同调，它们的定义都颇不简单。
注意同调也具有典范性。一般意义上的同调，是“导出函子”（derived functor），其一般性质（结构）也是同调代数的研究课题。不仅如此，由这些结构还可得到“导出范畴”（derived category）的概念，近年来它已成为研究原范畴的一个新途径（例如通过研究一个空间 上的函数层范畴的导出范畴来研究函数层范畴, 并进而研究空间 的结构）。
Grothendieck 的一般同调理论框架也可以应用于其他学科，不过迄今为止主要是在代数几何中使用。若希望全面了解同调代数近年来的进展, 可参看[7]。
参考文献
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[14] 李克正: 《交换代数与同调代数》 第二版, 科学出版社 (2017).
[15] 李克正: 《群概形及其作用论》, 清华出版社 (2018).
[16] S. MacLane: Homology. Springer (1963).
[17] S. MacLane: Categories, GTM 5. Springer (1971).
[18] J.J. Rotman: Notes on Homological Algebra. Van Npstrand ReinholdMath. Studies 26 (1970).
[19] 周伯壎: 同调代数. 科学出版社 (1988).
出品：科普中国
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