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从零打卡leetcode之day 3--最大子序列

帅地 苦逼的码农 2019-05-25

前言

深知自己在算法方面上很菜,于是打算通过打卡的方式,逼自己一把。每天在leetcode上打卡,并且把自己的想法分享出来。这将是一段漫长而又艰辛的旅程。如果你也想和我一起走上一条充满艰辛的航路,那么,别犹豫了,上车吧,一起学习一起探讨。

吐槽下:发的有点晚了,本来早早就发的。不知为啥,复制到公众号里的代码好好的,用markdown渲染一下也是好好的,但是点击一保存或者一预览内容,代码的格式就会各种 错乱,搞了我好久,最后还不小心把我弄好的markdown渲染的css样式给删除了......最后还粘贴不了图片....奔溃啊。加上写了两篇文章...

从零打卡leetcode之day 3

题目描述: 给定一个int类型的数组,求最大子序列的和。 也就是说,从这个数组中截取一个子数组,
这个子数组的元素和最大。 例如: -1 20 -4 14 -4 -2 这个数组的最大字序列和为30。即20 -4 14。

解题

1.初级版解法

对于这道题,其实我们可以采取遍历所有可能的组合,然后再比较哪种组合的和最大。

也就是说,我们可以找出所有子序列,然后逐个比较。代码如下。

   public int solve(int[] arrs){    
       int max = 0;//用来存放目标子序列的和        int temp = 0;//用来存每个子序列的和        for(int i = 0; i < arrs.length; i++){    
               for(int j = i; j < arrs.length; j++){                temp = 0;        
               //计算子序列的和                for(int k = 0; k < arrs.length; k++){                    temp += arrs[k];                }                
               //进行比较                if(temp > max){                    max = temp;                }            }        }      
       return max;    }`

在这三个循环中,外面两个循环枚举出所有子序列,第三个循环计算子序列的和。

看到三个for循环,时间复杂度的O(n3)。这速度,实在是太慢了。我们来优化优化。

2.进阶版

其实,你仔细看一下里面的那两层for循环,会发现其实可以把它们合并成一个for循环的。

也就是说,我们可以在枚举所有子序列的过程中,是可以一边进行数据处理的。还是直接看代码好理解点。如下:

   public int solve2(int[] arrs){    
       int max = 0;        int temp = 0;    
       for(int i = 0; i < arrs.length; i++){            temp = 0;      
           for(int j = i; j < arrs.length; j++){                
               //一边处理数据                temp += arrs[j];                
               //进行比较选择                                if(max < temp){                    max = temp;                }            }        }      
      return temp;    }

该方法用了两个for循环,时间复杂度为O(n2),相对来说好了一点。

3.再次优化进阶

这次,我们可以使用递归的思想来处理。递归最重要的就是要找到:

  1. 递归的结束条件

  2. 把问题分解成若干个子问题。


对于这道题,其实我们可以把序列分成左右两部分。那么,最大子序列和的位置会出现在以下三种情况:

  1. 子序列完全在左半部分。

  2. 子序列完全在右半部分。

  3. 一部分在左,一部分在右。


所以我们只要分别求出左半部分的最大子序列和、右半部分的最大子序列和(注意,问题已经转化为求左右两部分的最大子序列和了,也就是说问题被分解成若干子问题了)、以及跨越左右两部分的最大子序列和。最后比较三者之中哪个比较大就可以了。

如何求解左半部分和右半部分的最大子序列?

其实道理一样,把左半部分和右半部分再次分解左右两部分就可以了。

那么,如何求解跨越左右两部分的最大子序列呢?

其实只要求出包含左半部分中最右边元素的子序列的最大和,以及求出包含右半部分中最左边元素的子序列的最大和,然后让两者相加,即可求出跨域左右两部分的最大子序列和了。

子问题已经分解出来了,那么递归的结束条件是什么?

我们把数组分成左右两部分,其实当左右两部分只有一个元素时,递归结束。

这道题的递归思路算是找出来了,不过,代码实现?假如你对递归不大熟悉的话,可能在实现上还是有那么点困难的。对于递归的学习,大家也可以看我写的关于递归与动态规划的几篇文章。

我就直接抛代码了。

   //递归版本    public int solve3(int[] arrs, int left, int right){    
       int max = 0;
       //表示只有一个元素,无需在分解        if(left == right){            
       //为什么?因为低于0的数肯定不可以是最大值的       
       //大不了最大值为0            max = arrs[left] >= 0 ? arrs[left]:0;        }else{            
           int center = (left + right)/2;            
           //求解左半部分最大子序列            int leftMax = solve3(arrs, left, center);            
           //求解右半部分最大子序列            int rightMax = solve3(arrs, center+1, right);  
                     
           //求解kua跨越左右两部分的最大子序列            //1.求包含左部分最右元素的最大和            int l = 0;            
           int l_max = 0;            
           for(int i = center; i >= left; i--){                l += arrs[i];                
               if(l > l_max){                    l_max = l;                }            }            
            //2.求包含右部分最左元素的最大和            int r = 0;          
           int r_max = 0;          
           for(int i = center+1; i <= right; i++){                r += arrs[i];                
               if(r > r_max){                    r_max = r;                }            }            
              //跨越左右两部分的最大子序列             max = l_max + r_max;            
              //取三者最大值            if(max < leftMax) max = leftMax;            
           if(max < rightMax) max = rightMax;        }        
      return max;    }

递归求解方法的时间复杂度为O(nlgn)。这速度,比第一种做法,不知道快了几个级别….

递归解法可以说是很快的了

但是,等等,我还是不满意…

4.最终版:动态规划

接下来的最终版,时间复杂度可以缩减到O(n), 虽然说是采用了动态规划的思想,不过,我觉得你没学过动态规划也可以看懂。

假如我给你

1 2 -4 5 6

五个元素,你在计算前面三个元素的时候,即

1 + 2 + -4 = -1

发现前面三个元素的和是小于0的,那么,这个

1 2 -4

的子序列我们还要吗?显然,这个子序列的和都小于0了,我们是可以直接淘汰的。因为如果还要这个子序列的话,它和后面的5一相加,结果变成了4,我们还不如让我们的目标子序列直接从5开始呢。

先看代码吧,可能反而会好理解点

   //基于动态规划的思想    public int solve4(int[] arrs){    
       int max = 0;//存放目标子序列的最大值        int temp = 0;//存放子序列的最大值        for(int i = 0; i < arrs.length; i++){            temp += arrs[i];            
           if(temp > max){                max = temp;            }else{                
           //如果这个子序列的值小于0,那么淘汰            //从后面的子序列开始算起                if(temp < 0){                    temp = 0;                }             }        }        
      return max;    }

这道题不是leetcode上的题目,不过我觉得这道题很不错,所以拿出来分享给大家。

如果你有什么不大清楚的,欢迎微信群里讨论,当然也可以直接来问我勒。欢迎转发让更多人加入打卡行列勒。

如果这道题能对你有所帮助,不妨点个赞。哈哈

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