贞元讲座：如何培养孩子的数学思维之几何篇

大家好！我是贞元教育初中数学教师赵俊杰。

很高兴能跟大家分享《如何培养孩子的数学思维（几何篇）》。

讲座开始前，先抛出几个问题，欢迎大家畅所欲言！

如何培养孩子的数学思维呢？昨天宋宋老师已经讲了很多有趣的数学游戏，是的，无论是代数还是几何，其实都一样——都要“玩游戏，学数学”。按照我们的思路，孩子们会越学越爱学，越学越简单。

我们的课程设计背后有非常深厚的学术背景，在这里我不过多介绍，想请大家关注的是这个“模式”的起点是什么？是的，是“儿童的认知发展”水平。无论是整个课程框架的设计，还是每一章、每一节课的设计，起点永远只能是儿童！是儿童当下的认知发展水平。

从发生学的角度，我们把儿童空间几何观念的建构历程大致划分为这样四个阶段，不同阶段的儿童认知发展水平不同，在学习几何的过程中当然就需要不同水平的游戏。整体上是慢慢从具体可操作的“动作游戏”走向抽象、想象的“思维游戏”。 

需要说明的是，这里的年龄段只是一个大致的划分，每个具体的儿童都可能会不同，需要通过具体的评估来确定。

一、动作空间阶段（0～2岁）

刚刚降生的婴儿有时间和空间意识吗？没有，对新生儿来说，时空不分，一片混沌。那么，儿童头脑中的时间、空间观念是从哪儿来的呢？ 

婴儿降生到这个世界上，首先要解决生存问题——吃，这就要靠先天的反射图式——吮吸，去搜寻妈妈的乳头。此外，还有小手的抓握、眼睛的注视，这都是他最初与这个世界互动的方式，也是一切观念建构的源头。

小宝贝从这些最基本的先天反射开始，以后慢慢协调，学会新的动作，学会爬、走等等，他们就用这些“简单动作”去探索这个“变幻莫测”的空间世界。

儿童探索的是平面世界还是立体世界呢？当然是立体的呀！所以，儿童很早就积累了丰富的关于立体图形的经验，平面图形反而是更靠后的。

那么这个问题大家也就清楚了吧？今天推送的文章里面也有介绍，如果您正好是两三岁宝宝的家长，不妨试试先教孩子认识立体图形，再认识平面图形。

请问：儿童最初的空间观念从哪儿来呢？是儿童从各种动作中来的，儿童通过动作与这个世界互动，在这个过程中把动作经验内化到自己的头脑中，形成的自己的观念。此阶段儿童空间观念的特点是还不具备“表象”能力。也就是说，当一个物体不在眼前时，儿童还无法在头脑中“描绘”出它的样子。

给家长的建议：给幼儿提供足够安全、丰富的探索空间，让儿童自由探索，他们必须在动作中学习。成人不要过多地替代孩子，成人的替代相当于剥夺了孩子探索的机会，久而久之，儿童天然的好奇心、探索欲可能就丧失了。

二、表象性空间阶段（3～6岁）

三岁左右的儿童能不能通过视觉辨认出正方形、圆形？当然可以。是否意味着他们已经拥有正方形、圆形的“科学概念”了？肯定不是。如果他的正方形玩具被藏起来了，他能不能在脑海中想象出这个玩具的样子？可以。这个阶段的儿童已经具备“表象”能力了。实际上，他不仅能在脑海中想象出这个玩具的样子，还可以用画笔把它画出来，尽管他所画的“正方形”并不够方，也不够正，经常被成人评价“不像”。 

我们的数学课程就是从学前开始的，对于5岁左右儿童，应该怎样学几何？其实，对于5-6岁的儿童，以及小学低段（一年级）儿童来说，需要通过更加丰富的操作游戏积累动作经验。这样，儿童才能将动作经验内化，在头脑中建立起几何图形的表象。

今天推送的文章里已经介绍了比较丰富的游戏，这里就不多讲了，再补充一些游戏图片。这些游戏活动实录都收录在《玩游戏，学数学》学前分册中。

给家长的建议：这个阶段的儿童需要更加丰富的游戏活动，如果孩子在幼儿园的游戏活动已经足够丰富，那就足够了，如果幼儿园的游戏活动不足，家长可以参照《玩游戏，学数学》学前分册中的相关游戏，跟孩子一起玩儿。不仅帮孩子更好地建构观念，还能提升亲自互动的品质，让您和孩子一起的时间都成为高质量配备。

三、前欧氏空间阶段（6～12岁）

小学阶段，孩子们的几何学习大致包括这样几个小板块。

从篇幅上大家就能看出来“图形与测量”是整个小学几何最主要的内容。

当然，其他小板块也都非常重要，而且往往其重要性更容易被忽视，但是今天我们暂且不聚焦它。今天我们要聚焦的是“图形与测量”。

大家有没有想过，为什么认识各种几何图形总是和测量相伴而行呢？

因为小学阶段的儿童处于“具体”运算阶段，他们在具体可操作的基础上来学习几何。所以，除了通过操作游戏认识图形的一些特点以外，测量肯定是最适合儿童的学习内容了。

所以，今天我们就以测量为主线来分享。以后有机会我们还可以继续分享其他有趣的内容。

l  一维长度测量

这是预热问题

现在有一根蓝色木棍，你怎么测量它的长度？

大部分成人的第一反应肯定是用尺子，当然可以。如果没有尺子呢？在尺子被发明创造之前，人们如何测量呢？看看我们的小朋友是怎么测量的吧！

看，拃、庹、步、一根细绳、一支笔、一根小棍，等等，各种物品都可以成为我们的测量工具！他们在教室里、在家里测量各种各样物体成长度，并且用写绘作品把测量结果展示出来。

 现在假如我们有一根黄色的小棍可以当作测量工具，怎么测量蓝色木棍的长度呢？

通过平移叠加，请问：测量结果是什么？被测量的蓝色木棍是这根黄色小棍的3倍，蓝色木棍的长度就是3。在这个测量活动中，黄色小棍起到了什么作用？

测量基准，也可以叫测量单位，就是“1”。蓝色木棍是基准的3倍，它的长度就是“3”。

大家都用自己找到的基准去测量了，一个问题解决了，孩子们又会遇到什么新问题呢？

有两个非常非常严重的问题马上就出现了：

一个问题是，同样测量了图画本的长度，你测的是3，我测的却是2，这是怎么回事？

原来你测的是3拃长，我测的是2支水彩笔长。孩子们发现，测量基准不一样，沟通交流的时候就会引起麻烦，这怎么办呢？

孩子们会想各种办法，最重要的办法就是：我们要用统一的基准去测量！我们班的测量基准统一了，OK没问题了，当我们去跟其他班级交流的时候呢？还是会基准不一致！那我们全校都得统一！最后讨论到全国都要统一！可是，我们跟外国朋友交流的时候怎么办？

就这样，从古代中国的寸、尺、丈，到现在的国际标准单位，都被孩子们创造出来了！下面是孩子们用寸、尺进行测量后的写绘作品。

尺子这种测量工具又是怎么被创造出来的呢？用一个基准不断地平移叠加是不是有点麻烦？怎么办？我把好多个相同的基准首位相接，连在一起，刻度尺不就创造出来了嘛！看看孩子们自己制作米尺的场面吧！ 

 另一个问题是：被测量的物体不足1米长，该怎么办呢？二年级的孩子还没有学习分数、小数，他们只能用自然数表示。当然，如果正好差不多是1米的一半，孩子们很自然地会说“半米”，如果不是这样呢？爱思考的孩子们就会像数学家一样想办法，一定会有孩子说：发明一个更小的基准不就行了！

这样的数学是不是特别有意思？

下午的互动中这几位朋友的对话真的很棒，让我们体验到了思维被打开，去发明创造的感觉！

那么，学习长度测量的核心问题有哪些？

1.确定测量基准；

2.确定被测物体与基准的关系；

3.统一测量基准；

4.不同基准之间的关系。

刚才用了平移叠加的方式，还可以用拉伸变换来理解。请大家在这幅图的基础上来想象一下，想象这个测量基准是可以自由伸缩的，现在我们要测量蓝色木棍的长度，就需要把它拉长，想象我们把它慢慢拉长，一直拉到和蓝色木棍一样长。这时候测量基准被拉长了多少呢？拉长到原来的3倍长，测量结果是3.

平移叠加可以动手操作，拉伸变换则要靠想象。对七岁儿童来说，想象这个变换过程并不轻松，但是，毕竟未来儿童的空间观念要朝向空间想象力发展，那么，我们就给孩子在这个方向上给儿童留有通道。

儿童一维测量的观念是如何建构起来的？通过大量操作活动，动作经验内化，形成一维测量观念。

l  二维面积测量

这两位朋友的回答大方向都是没问题的，具体该如何做呢？看看我们三年级的小朋友是如何测量长方形面积的吧！

一维的长度测量会了，那么，二维的面积怎么测量？是不是把面积公式s=ab记住就行了？当然不是，大家已经知道了，要有相应的操作游戏。

核心问题仍然是：

1.确定测量基准；

2.确定被测物体与基准的关系；

3.统一测量基准；

4.不同基准之间的关系。

区别仅仅在于，此时的测量基准不再是一条线，而是一个单位小正方形。

同样可以通过平移叠加、拉伸变换两种方式来理解。以平移叠加的方式，用单位小正方形铺满足够长方形，摆了a列，b行，那么，长方形的面积是多少？没错，就是a×b。长方形面积公式就这样被创造出来了！

儿童的二维测量观念是如何建构起来的？一方面，仍然要通过大量的操作活动，动作经验内化；同时，儿童已有的一维测量观念纵向提升，儿童头脑中的二维测量观念得以建构生成。这就是儿童发明数学，创造数学的过程！

l  三维体积测量

一维的长度测量、二维的面积测量都会了，那么，三维的体积怎么测量？

没错，核心问题仍然是：

1.确定测量基准；

2.确定被测物体与基准的关系；

3.统一测量基准；

4.不同基准之间的关系。

此时的测量基准变成了一个单位小正方体。用单位小正方体填满这个长方体，如果每一层有a列，b行，一共有c层，长方体的体积是多少呢？是的，a×b×c，长方体体积公式就这样被创造出来啦！拉伸变换也可以解释。

儿童的三维体积测量观念是如何建构起来的？

需要补充说明的一点是：儿童只有建构了长度守恒观念，才能开始学习长度测量；只有建构生成了面积守恒观念以后，才能学习面积测量；只有建构生成了体积守恒观念以后，才能学习体积测量。这些都可以通过相应的游戏对进行评估。所以，在什么阶段学习什么内容，以什么样的游戏活动来引导孩子发明创造式地学习，都是非常讲究的。

大家体会到我们的课程与传统教学有什么不同了吗？

所有的几何变换都要动手操作，所有的测量都要动手操作。一句话，小学阶段所有的几何学习都要“动手操作”。面积公式、体积公式等等，那都是大量动手操作，动作经验内化之后的结果。而传统教学则把公式、结论作为理所当然的事实，直接拿来作为教学的起点。

整个小学阶段的几何学习都离不开动手操作，越是低段，动手操作的比重越大。因为动手操作就是积累动作经验，动作经验内化，同时，原有空间观念纵向提升，就是儿童建构生成更高层次空间观念的过程。

那么，初中生如何学几何？

12岁以后的儿童，具备了抽象思维的可能性，所以初中阶段是发展抽象逻辑思维的最佳时期，那么初中是不是完全不要动手操作呢？不是，仍然需要动手。立体图形的展开与切割、尺规作图、三角形的重心等等，都需要动手操作。

那么初中能不能只停留在这里呢？当然不能！我们刚刚提到，初中阶段是发展逻辑推理能力的最佳时期，如何提升孩子的逻辑推理能力，那又是一个非常值得探讨的问题，今天我们暂且悬置，以后有机会我们再来分享。

怎样培养孩子的数学思维呢？您会怎么回答呢？我们的回答是：玩游戏，学数学！

这里的游戏，在低端和高端有什么不同呢？

没错，越是低段的孩子，年龄小的孩子，越偏向于动手操作游戏，而越是高端的孩子，年龄大的孩子，越偏向于内在的思维游戏。

有些高段孩子的家长可能会有点担心，孩子已经错过了那么多，还能补回来吗？其实，我们目前初一的孩子，大多是从传统学校进入我们的课程系统的。也就是说他们并没有经历我们小学的数学课程系统。经过一年的学习，有很多孩子爱上了数学探索，他们会用课余时间撰写小论文，小论文的内容已经远远超出了初一教材的学习范围。比如说，学习了三角形全等的判定，大家知道“边边角”在一般三角形中不能判定全等，但是有的孩子认为，在直角三角形中似乎可以判定，于是他们会利用课余时间进一步探索，把自己的研究成果写成小论文；学习了一次函数，他们就开始研究二次函数、反比例函数，这在教材中是初三才学习的内容。

这是最近我们贞元数理人文公众号发布的学生作品，都是孩子们的小论文，其中有三篇都是这个暑假里刚刚写出来的。这个暑假过半的时候，已经有一半孩子做完了所有的基础练习作业，我已经收到了6篇小论文。就在今天下午，我还收到了两篇新作，随后就要跟孩子们细致地讨论论文内容了。跟孩子们一起踏上数学探索之旅，去发明，去创造，这是一件多么令人兴奋的事啊！

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