前方高虐！请注意！虐脑指数五颗星！（一）

开封贞元学校贞元教育 2024-01-09

编者按：

昨天预告过了（贞元讲座几何篇），今天要玩点虐脑的事：让赵俊杰老师的学生，一群初一的孩子来虐虐大家的脑浆。

每个虐你的孩子都有图有真相，让你被虐个清清楚楚明明白白，记住是哪张稚嫩的小脸虐了你。

一次函数图象为何是一条直线

桐

经过一次函数的学习之后，大家心中都认定了"一次函数的图象是一条直线"这一观念。但我对此深感怀疑，它为什么一定是一条直线呢？虽然我们已经做过了许多一次函数图象，而且结果都是一条直线。但我们所画过的函数图象毕竟是有限的特例，谁能保证下一个我们遇到的一次函数图象依然是直线呢？如果真的是这样，那其中又有什么道理呢？为什么是这样的呢？

于是，在提出一次函数的图象是一条直线的猜想后，我开始尝试寻找一种证明它的方法。

首先，我们可以根据一次函数的一般形式y=kx+b(k，b为常数，k≠0)来举出这样一个特例:y=2x+1。分别将x=0，x=1代入解析式中是这样的：

y=2×0+1=1

y=2×1+1=3

于是可以列表:

x ... 0，1 ...

y ... 1，3 ...

我们将这几组式子对比一下就可以发现：等号右边的"1"(也就是b的值)是始终不变的。而变的就只有"x"的值。"x"的值是几，也就是有2的几倍。表现在图象中就是这样的：

从“数”的角度，x每增加1，y就增加2；从“形”的角度，x每向右移一格，y就向上移两格。这个规律是始终不变的。于是点A，点B，点C，它们的连线在同一条直线上，也就是说这条连线的走向是保持不变的。

但到这里还会有一个问题：这里的x仍然是特例，它们是"正整数"。那么如果x是负数，是小数时，这种趋势和规律还依然存在吗?。我们不妨试试把x换成小数和负数，看看这种规律是否依然成立。

先来看负数:

分别将x=-1，x=-2代入解析式中是这样的：

y=2×(-1)+1=-1

y=2×(-2)+1=-3

于是可以列表：

x ... -1，-2 ...

y ... -1，-3 ...

对应的图象是这样的：

从“数”的角度，x每减小1，y就减小2。相应地，从“形”的角度，x每向左移一格，y就向下移两格。也就是当x为负数时，这条连线仍然会保持直线的趋势。

再来说小数：

分别将x=0.1，x=0.2代入解析式中是这样的：

y=2×0.1+1

y=2×0.2+1

于是可以列表：

x...0.1，0.2...

y...1.2，1.4...

对应的图象是这样的：

从“数”的角度，x每增加0.1，y就增加0.2。从“形”的角度，我们把单位长度缩短成0.1，那么也就是x每向右移一格，y就向上移两格。所以说一次函数的图象总是保持成一条直线的。

如果我们继续缩小单位长度呢？比如0.01，0.001……规律仍然成立啊！我终于可以比较安心地说“一次函数的图象是一条直线”了！

怎么样？发现、探索与证明的过程是不是很有趣呢？让我们一起变成小数学家，去探索数学的奥秘吧!

反比例函数探秘

飞

上周我们学了正比例关系，课下我就有了一个新的猜想，什么是反比例关系呢？

猜想：

反比例关系，两个变量的乘积是一个定值，就叫反比例关系。

发现：

像面积不变，求边长的这一类就是反比例关系，例如一个长方形面积为36，当一组对边长为1时，另一组对边长就是36，以此类推，如下：

通过上面的表格我们可以看出一组对边的长，对应的另一组对边的长是唯一的，所以它们互为函数，所以我认为这就是反比例函数——乘积一定，任意取一个x的值对应的y值也唯一确定。如下图像黑色部分这个图像最开始的时候无限接近y轴，越向后越无限接近x轴，但不会相交。一开始变化很大，越到后面变化越小。所以由此推出它们的关系应该是y＝k÷x（k为常数，k≠0），那么符合这个关系式的时候，在第三象限，应该还有一条曲线。如下图中蓝色和黑色部分

但这是当k＞0时，两条曲线分别在第一象限和第三象限，如果k＜0呢？我猜测在第二象限和第四象限。k＝-36

如下图中红色部分

果然如同我的猜想，当k＜0时，所对应的xy的图像在第二象限和第四象限。

在后面我发现它是一个中心对称图形，因为对应的第三象限图像旋转180°和第一象限的图像可以重合。同样的，它也是一个轴对称图形。

探索之路上的每一个小节点，都饱含着刚被发现时的惊奇，平静的记录下这让人难忘的经过，剩下的留给岁月去证明它的价值。

二次函数探秘

远

这段时间我们学习了一次函数，于是我马上想到了二次函数。既然有一次函数，是不是还有二次函数呢？如果真的有二次函数的话，它是什么东西呢？

一开始我想，也许二次函数就是“一次函数+一次函数”？

一、二次函数是“一次函数+一次函数”吗？

假设二次函数等于一次函数加一次函数，

因一次函数y=kx+b(k≠0），

则二次函数就是kx+b+kx+b=2kx+2b，

其中x的指数仍为1,所以此函数式仍为一次函数式。

所以二次函数并不等于“一次函数+一次函数”。

所以我就想到，是不是与x的指数有关？

二、x的指数探秘

一次函数x的指数为1，那么二次函数的指数是不是为2呢？

形如一次函数y=kx+b(k≠0），则可以推出二次函数y=ax²+bx+c。

有了这个关系式，这里面除了x，y两个变量以外，其他字母都表示常数，那它们的取值有限定吗？

三、二次函数y=ax²+bx+c中系数与常数项探讨

1.当a=0,y=bx+c，此时二次函数变为一次函数，即二次项系数不能为零

2.当a≠0，b=0时,则y=ax²+c,为二次函数

3.当a≠0时，b=0,c=0,则y=ax²,为二次函数

所以，二次函数y=ax²+bx+c中，a,b,c为常数，并且a≠0。

我们学一次函数是通过列表、描点、连线画出它的图象，那二次函数当然也要画图象啦！那就先随意写一个特殊的二次函数来画画看吧！

四、特殊的二次函数y=ax²+bx+c规律讨论

设a=1,b=2,c=3,则y=x²+2x+3

1.列表

2.图象

我发现：

1）它的图象是一条曲线，不是直线；

2）这条曲线以x=-1为对称轴；

3）x为不同値时，准确地说是互为相反数的两个数值时（不包括0哦），y値相同；

4）当x值的绝对值越来越大的数时，曲线的开口越来越大；

5）疑问：

A当a=1,b=2,c=3时，图象开口向上，什么时候朝下、朝右、朝左呢？

B为什么一次函数图象为直线，二次函数图象为曲线呢？

我写好小论文立刻发给俊杰老师，她有给我提供一些有趣的问题，于是我又继续研究了几组二次函数的图象。

五、有趣的二次函数

1.y=x²的图象什么样？它有什么特点？

列表

2.图象

我发现：

1）这条曲线开口向上；

2）以y轴为对称轴；

3）过原点。

2.y=x²，y=x²+3，y=x²-3图象有什么特点？为什么？

列表

图象

我发现：

这三条曲线的形状一模一样！y=x²的图象向上移动3个单位，就可以得到y=x²+3的图象，向下移动3个单位，就可以得到y=x²-3的图象。太有意思了！

3.y=x²，y=2x²，y=1/2x²图象有什么特点？为什么？

列表

图象

我发现：

k値越大，这条曲线就越靠近y轴（越“瘦”哈哈），有意思！

4.y=x²，y=-x²图象有什么特点？为什么？

列表

图象

我发现：

y=x²与y=-x²图象关于x轴对称，前一个开后向上，后一个开口向下。

听老师说，二次函数是初三才学的内容，可是现在我就可以去探索啦，而且那么有意思！数学真神奇！

老师当然还可以继续追问远：如果这样的一条曲线开口向左，或向右，它还满足“y是x的函数”关系吗？以及上述那么多图象特点，到底是为什么呢？

不过，不急，我们会用以后的每一个日子，一起走在这条探索的路上！

赵俊杰老师总评：
数学知识不是早就被那些数学家创造出来了吗？初中生还能创造啥？

贞元数学告诉你：任何一个数学观念，只有被儿童以建构的方式从ta的头脑中发明创造出来，它才是活的，它才是有意义的！

敢于质疑，理性思辨，这不正是我们希望孩子拥有的思维品质吗？所以，哪怕是教材上给出了结论，只要孩子心存疑惑，我们都鼓励ta把自己的疑惑和探索表达出来。这就是真正的发明创造，也是真正的数学家应该做的。

贞元课程：

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