前方高虐！请注意！虐脑指数五颗星！（二）

开封贞元学校贞元教育 2024-01-09

编者按：

昨天预告过了（贞元讲座几何篇），今天要玩点虐脑的事：让赵俊杰老师的学生，一群初一的孩子来虐虐大家的脑浆。

每个虐你的孩子都有图有真相，让你被虐个清清楚楚明明白白，记住是哪张稚嫩的小脸虐了你。

完全n次方？

赵俊杰老师点评：
被一个数学问题击中时，孩子那种兴奋的状态是什么样呢？

至今仍然清晰地记得，学习完全平方公式那节课的综合阶段，孩子们提出的新问题拓展到了（a+b）的三次方，与立刻就想到了四次方，五次方，六次方会怎么样呢？根本等不及下课，他立刻在自己的小本子上写起来，大约十分钟，他已经洋洋洒洒写了好多，计算到了（a+b）的七次方，兴奋地跟我分享他的新发现！

你能想象吗？那种感觉啊，像伟大的数学家发明创造出一个新的数学观念是一样啊！惊奇！兴奋！

与

我们数学课上学习了完全平方和公式，就是（a+b）²=a²+2ab+b²。于是大家就展开了猜测，如果不是平方，而是三次方、四次方，那这个公式还会成立吗？同学们猜想：

因为正好当时开展了数学小讲师的演讲，我对这种题目也挺感兴趣的，老师就鼓励我好好研究，到时候分享给大家。然后我就开始了“闭关狂算”！好吧，其实也就十几二十分钟，我一直算到了七次方才找到一点头绪。

听起来是不是很麻烦？其实也还好，如果要算三次方，只需知道二次方a²+2ab+b²，再直接乘a+b，再用乘法分配律，化简（合并同类项）完最后就是a³+3a²b+3ab²+b³。

这时我又有了一个新的猜想：

接着往下算证明这个猜想时，发现事情远远没我想象的这么简单，我刚刚列的那个公式没错，但是四次方又多出了一项，五次方多出了两项，六次方多出了三项……

研究了好久，又发现了一个令人激动的结果，就是每一项的“各字母指数之和”就是首项的那个指数（这是从指数上找到的规律），也就是每一项的次数都相同。比如：（a+b）的七次方等于……打不出来配一张图片：

看得清吗？就是下面这个式子

但是这仅仅只是指数，系数却一直找不到规律，后来终于发现这与杨辉三角神相似！

好像有点糊，没关系，看下图就是了

可是，虽然找到了一定的规律，却依然列不出公式——这太复杂了！

现在我会列的一般的代数式很难表达这种规律，还需要考虑到排列组合，这也许还要一种特殊的新符号才能表示出来。虽然这道题对于现在的我来说有一些困难，不过我相信，我总会攻克的！！

大约两周后……

呃，我好像又发现了一些关于杨辉三角的“秘密”。

我发现杨辉三角的第一行就对应着（a+b）的零次方，杨辉三角的第二行就对应着（a+b）的一次方，第三行也就对应着（a+b）的二次方……

总结出一条，就是：第n行就是（a+b）的n-1次方，（a+b）的n-1次方的每一项的系数就是第n行的各个数。（第n行也就有n项。）

还有一个规律就是：第n行所有数的和就是2n-1。（很神奇吧~）

所以在目前看来，如果想知道完全n次方的每一项的系数，只需要去找杨辉三角就可以了！

边边角能否判定两直角三角形全等？

赵俊杰老师点评：
初中阶段是培养逻辑推理能力的最佳时期，因为儿童进入形式运算阶段，具备了进行抽象思维的可能性。

我们如何让孩子们爱上逻辑推理呢？靠孩子们的发明创造！平行线的判定与性质、三角形全等的判定，等等，所有这些几何定理、公理都是孩子探索、创造得到的。探索之旅无止境，得到一个新结论，马上又有新问题冒出来！

你看，假期里孩子们就按捺不住，开始自己探索啦！我们的含、晋不约而同地探索了“边边角”能不能判定三角形全等的问题，今天分享给大家。

含

我喜欢几何，喜欢尺规作图，我总觉得几何推理过程中那种一环套一环的逻辑思维让我着迷，从平行线开始，再到全等三角形……随着课程的展开、判定依据的限定，以及一次次的尝试，几何都让我体会到了数学的乐趣和其中的自由。

在我们探索几何时遇到的问题越多，深入的思考越多，我们也有了更多的思维碰撞。

学完勾股定理后，我又联系到前面遗留的问题，对它进行了探索……（详见看下文）

上个学期我们学习了如何判定两三角形全等。

首先我们对全等三角形进行了定义：可以完全重合的两个三角形全等。但这只是从操作层面来说的，两个三角形全等，我们还需要从证明（判定）的角度去想。因为我们通过操作的方法知道两个全等的三角形对应边和对应角是相等的，所以只要三条边、三个角对应相等，两个三角形就是全等三角形了。

满足这六个条件才可以判断两个三角形全等，似乎不够简洁。能不能用更少的条件判定三角形全等呢？

经过一番探索，最后我们找到了最简洁的方法，就是需要三个条件，分别是：

1.边边边

2.角边角

3.角角边

4.边角边

以上是三个条件中可以证明两三角形全等的方法，还有一种情况是边边角：两边对一角。当一个命题举出反例时，它就不是真命题了，边边角我们就举出了反例：

也就是说，当我们已知两边对一角的情况下，两三角形不一定全等，因为这个三角形不唯一，所以边边角不能判定全等。

但是学了勾股定理以后，我想，依据勾股定理，“边边角”应该可以判定两直角三角形全等：

依据勾股定理，把“边边角”转化成了“边边边”、“边角边”，这样就可以证明两直角三角形全等了。但是因为“边边角”不能判定任意三角形全等，目前只能适用于直角三角形，如果仍然称其为“边边角”就比较容易引起误解。在两个直角三角形中，已经有一组直角相等了，再加上一条直角边和一条斜边对应相等时，依据前面的证明步骤，就可以证出两直角三角形全等。给这个方法命名，就叫“斜边直角边”怎么样？英文缩写为HL，H是指直角边，L是指斜边。

这就是我们由边边角探索到的可以判定两直角三角形全等的新方法。

不约而同选择这个问题研究的还有晋同学，她也获得了与含相同的成果，并且我们讨论中发现还有新问题值得探索：边边角只对直角三角形适用吗？还有没有其他情况适用呢？晋打算通过作图来继续探索这个问题，我们期待她的成果吧！

探索根号二是不是有理数

赵俊杰老师点评：
一个数学问题萦绕心间久久不得其解，会是怎样的迷与惑？
而终于有一天，你可以自己亲手去解开这个谜团的时候，又会是怎样的畅快淋漓？

你能想象吗？那种感觉啊，像伟大的数学家发明创造出一个新的数学观念是一样啊！惊奇！兴奋！
下面是桐前几天在准备主持《实数》一章网络讨论的过程中，一段神奇的探索之旅！

桐

从研究勾股定理开始，便一直有一个未解之谜埋藏在我的心底——边长为一的单位正方形，其对角线的长度是一个有理数吗？（根号二是有理数吗？）而在我们尝试计算根号二的数值时，我们发现它好像可以被无限精确，但却永远找不到那个最接近的数值，好像永远无法穷尽，但又可以想把它精确到什么程度，就能精确到什么程度。这和我们之前所学的数好像不一样。因此我猜测它可能不是有理数，那么怎样证明呢？

首先，要想证明根号二不是有理数，就要明确什么是有理数。根据之前对有理数的定义，我们知道有理数是整数和分数的统称（注意:这里的分数是指分母为不为一的最简分数），那么也就是说，只要证明出根号二既不是整数，也不是分数，便说明它不是有理数。

先来看整数的情况。其实我们在学习勾股定理时就知道它的值是在1.4～1.5之间的，所以这种情况便可以很快地被排除了。更加严谨的推理证明过程如下:

那么它是不是分数呢？首先，我们可以用符号语言将分数的最简形式表示出来。

那么之后该怎样证明它不是分数呢？这可就令人头大了。我试了好久，想要把它化为分数的形式，但是越想证明它不是一个分数就越证明不出来，就这样变式变了好久都毫无头绪。这个过程中还犯了一个大错误。

然而，很显然这样做是不合逻辑的。因为分数要想保持数值大小不变，必须要分子分母同时乘(除以)同一个不为零的数才行，同时平方是不行的，除非分子分母数值相等。

就这样试了半天，一直在碰壁，却毫无成果。

这时老师的一句话点醒了我，既然这样证明方式不行，那要不然换一种思路试试？试试反证法？老师这样一说，我便一下子豁然开朗了！

反证法，好熟悉的名字！对呀，我们在政治课上曾经提到过的！当时听说这种神奇的证法时，我便很是好奇，很是着迷，今天我终于可以去走进这种方法，更深入的去了解它了！当时的我真的好开心，好兴奋，迫不及待的想要看清楚这位新朋友真面目。于是我便开始用反证法来思考问题。

我要证明的是“根号二不是有理数”，那么反过来，我先“假设它是一个有理数”，然后在找其中的逻辑漏洞。如果找到了，便可说明我的假设是错误的，反之，根号二不是有理数的说法便成立了。而我们刚才已经证明过它不是整数了，所以便可以再将范围缩小。将假设改为“根号二是分数”，并且展开了如下推理：

竟然a和b都为偶数！那么它们就都有公因数2，也就不互质了！这与我们最初的假设相矛盾，因此命题"根号二是分数"不成立，而“根号二不是分数”就成立了！

最后，根号二既不是整数，也不是分数，根据有理数的定义，我们可以得知根号二不是有理数。

这一发现将打开我对数学求知的另一扇大门，既然根号二不是有理数，那它又是什么数呢，是无理数吗？无理数又是什么数呢？这都是我们在之后所要继续探索的。

当然，这次的探索对我来说意义最大的，仍然不是最终的结论，而是创造与发明的过程。在陷入迷惑中时，一味地顺着思维走可能会越绕越深，换一个思路，可能会有意想不到的收获！

赵俊杰老师总评：
数学知识不是早就被那些数学家创造出来了吗？初中生还能创造啥？

贞元数学告诉你：任何一个数学观念，只有被儿童以建构的方式从ta的头脑中发明创造出来，它才是活的，它才是有意义的！

敢于质疑，理性思辨，这不正是我们希望孩子拥有的思维品质吗？所以，哪怕是教材上给出了结论，只要孩子心存疑惑，我们都鼓励ta把自己的疑惑和探索表达出来。这就是真正的发明创造，也是真正的数学家应该做的。

贞元课程：

小学数学一年级分类游戏一年级人民币游戏四、五年级期末总结宋宋老师又钓鱼了五年级小论文数学教研课立体几何教学数学思维之代数篇数学思维之几何篇