贞元讲座 | 如何培养孩子的数学思维几何篇之三角形的前世今生
编者按：
8月18日20:00，赵俊杰老师在线上继续为家长们讲解了如何在几何教学中培养孩子的数学思维。这是赵俊杰老师第二场几何讲座，上一场讲座情况请点击：
这次的讲座赵俊杰老师聚焦三角形，她分享了三角形的前世今生，并介绍了贞元如何带领孩子认识三角形。下面是俊杰老师整理的讲座讲稿。
赵俊杰老师
大家好！我是贞元教育初中数学教师赵俊杰。
我给今天的分享取了一个非常浪漫的名字——三角形的前世今生。
这个标题是什么意思呢？是不是说三角形这个客观知识也有前世今生呢？
这个提法可能对很多成人来说是不可思议的，三角形就是三角形，它就客观的在那里，哪里谈得上什么前世今生呢？
实际上，最初是在我们江子校长的脑海里，后来是在我们贞元数学的每一位老师脑海里，即便是一个客观存在的三角形，它也的确有自己的前世今生！
不过我们今天讨论的重点并不放在这一方面，而放在三角形作为一个观念在儿童的头脑中是怎样一步一步成长、发展起来的，从一颗小小的种子，逐渐的长成一棵参天大树。
说到这里，我很想插几句题外话。我自己上小学的时候，比我小三岁的妹妹遇到了不会的数学题会来问我，当时我非常非常无法理解，这个东西这么简单，你怎么能不会呢？这个你不是学过了吗？你怎么还问我呢？应该问你自己呀！于是就非常非常生硬的对她说：这个题你应该会，自己好好想想吧！结果妹妹郁闷得不得了。
现在，作为数学老师的我再回想这些往事，感到无比的惭愧。如果是现在的我这样去回应孩子，那对于一个老师来说，简直是不可原谅的错误！无奈当时自己并不懂得这其中的深奥原理，给出了那么不恰当的回应。
这里面最关键的差异在哪里呢？其实就是对“儿童认知发展”这件事的认识，有一个非常重要的转向。
不懂得儿童认知发展的人，只知道客观知识逻辑，只有这一个维度，没有儿童如何掌握这个知识的维度。这时候就可能出现两种弊端，一种是，把不适合某个年龄段孩子的知识硬塞给孩子，那孩子必然会消化不良；另一种情况是，即便这个内容适合某个年龄段孩子学习，但是，由于方式方法不对，不能够让孩子乐于学习，起不到很好的启发引领作用，孩子的学习效果仍然是大打折扣。
作为教师，作为具有专业素养的教师，必须对儿童的认知发展充满好奇。儿童要在他的头脑中建构一个观念，这个建构的过程发生在儿童的头脑内部，好像是一个看不见摸不着的过程，但是它却真实地发生着，这是一件多么神奇的事情啊！我们怎么才能了解儿童头脑中到底发生了什么？我们又如何通过恰当的教学活动，促进儿童在头脑中建构相应的观念？等等等等，这一系列问题，太值得我们去研究！
我们贞元教育这个团队，就是一起走在这条学习探索之路上的一群人。站在当今这个世界上最伟大的心理学家——皮亚杰、维果茨基等等一批人的肩膀上，江子校长带领着我们一直在探索。
很多朋友回应了这个问题：
那我先问问大家，对于一个三岁左右的儿童来说，他有没有可能做出同样的回答呢？
我们能不能直接问一个三岁的儿童：什么样的图形是三角形呢？他会如何回答？他会不会说，有三个角有三条边的封闭图形就是三角形？
不会的。实际上，如果我们不给孩子任何的模型、学具，直接抽象地问孩子，什么样的图形是三角形？这个做法本身就是不恰当的。
那么三岁左右的儿童，能不能认识三角形呢？当然是可以的，问题是，这里的“认识”属于哪个层面上的认识呢？
我们还可以给孩子提供丰富的平面图形，让孩子来临摹，画出这些图形。一般三岁多的儿童画的三角形可能不会非常完美，但是如果我们不拿成人的标准过分苛求孩子的话，他们的作品能够很好的表现三角形的特点。
我们还可以给孩子提供丰富的图形模型，让孩子蒙上眼罩，用手去触摸这些模型，然后，把自己摸到的模型画出来。一般4岁多到5岁多的儿童，都能够准确地通过触觉来识别三角形、长方形、正方形、圆形等常见的平面图形了。
现在让我们回到刚才的问题，三岁左右的儿童能够认识三角形，这个认识是哪个层面的认识呢？
通过“视觉”去看，孩子可以在常见平面图形当中辨认出哪个是三角形，这主要是基于以视觉为主的感官知觉。
那到了6岁左右，也就是学前到一年级这个阶段，孩子们头脑中的三角形，又是什么样的呢？
仍然是不可以的。
需要说明的是，我们在带孩子玩这些游戏之前都会对孩子进行评估，在分享的过程当中，我把这个评估的环节省略不讲，直接进入我们教学的游戏环节。
浪漫阶段是立体图形盖章，目的是从立体图形盖章当中引出各种平面图形。
接着，在精确阶段，给平面图形命名，这时候孩子们就能够用自己的语言来表达，三角形就是有三条边有三个角的图形。
随后，戴上眼罩，盲摸平面图形，用触觉去感知平面图形，用自己的语言描述它们摸上去的感觉，和图形的样子，通过多种感官认识平面图形。
一般孩子最容易想到一个正方形可以剪切成两个长方形，但是肯定会有不同的方法，通过分享，孩子们惊奇地发现，哦，还可以这样剪！原来一个四边形可以剪成很多种不同的形状，剪切之后，我们还可以把它按照原来的样子拼接回去，这样一剪一拼，两个互逆的动作，三角形和四边形的关系，就在这个过程中沟通起来了。
最后的思维脑图，一年级的孩子可以用写绘的形式，回忆这一单元我们玩了哪些好玩的游戏，然后把它们画出来。
那么回头想一想，6岁左右的儿童头脑中的三角形观念，有什么样的特点呢？
他们头脑中的三角形观念仍然是浪漫的、整体的，他们可以用自己的语言说明什么样的图形是三角形，也可以通过操作游戏来感受三角形与其他平面图形的区别与联系，但是还不能去精确地聚焦三角形内部关于边和角的性质。
那么9岁左右的儿童，也就是在四年级下册的时候，儿童头脑中的三角形观念是什么样的呢？
是的，终于有一部分，至少有一部分可以被孩子在这个阶段发明创造出来了。
有三条边，有三个角的封闭图形是三角形。
有的孩子会觉得，这样表达不够简洁，有点重复了，只要说“有三条边的封闭图形”就够了，因为这时候只要有三条边，它就肯定有三个角啊！
像这样的图形，也可以说有三条边，但是它们不封闭，不能构成三角形。
这其实是在给三角形下定义。下定义一般要遵循两个基本原则，一个是不引起误解，另一个就是尽量简洁。对于像三角形这样的描述性定义，不要求有一个唯一标准的说法，只要描述合理，满足以上的基本原则都是可以的。
稍微调整一下也是可以的：三个不在一条直线上的点顺次连接构成一个封闭图形，它就是三角形。
孩子们就会想到，可以直接画一个三角形，这就是图形语言，再创造一个小小的几何图形符号，配合使用字母来表示这个三角形。一般来讲，到初中以后才会要求学生使用符号语言表示三角形，但是我们从四年级开始引入三角形的符号语言，实际上是没问题的。
哇，三条高竟然都交于同一个点！这实在太神奇了！这是一个偶然的特例，还是一个一般的规律呢？
他怎么只画了一条高呢？三角形不是应该有三条高吗？
哦，因为这是一个直角三角形，直角三角形的两条直角边互相垂直，所以这两条直角边本身就是它的高。这样一来，直角三角形的三条高也相交于同一点了，并且这个点就是它的直角顶点。
到这里，有些孩子还会有点疑惑，怎么办呢？可以让他再画一些三角形，画出来仍然是相交于同一点，那么多数孩子就已经非常坚信：任意一个三角形的三条高，或者它们的延长线，都会相交于同一点。一般来讲，探索到这里也就足够了，但是如果我们想给孩子未来的学习留一个窗口，还可以多追问一句：为什么三角形的三条高（或者其延长线）总能相交于同一点呢？我们通过多画一些三角形，就能证明它是一个普遍的规律吗？
经过一系列的探索活动和追问，有的孩子一定会心存疑惑：到底为什么会这样呢？这真的是一个普遍规律吗？万一有哪个三角形出现例外呢？
然而这个问题要想彻底解决，恐怕要等上很久了，基本上要到初三毕业前，孩子们才有可能借助相似三角形，或者是借助圆的某些特殊性质，才能证明这个结论。
有一个尚未解决的问题悬在那里，期待着未来的某一天能够把它解开，这种感觉是非常奇妙的！就像那些伟大的数学家、科学家去探索未知领域是一样的感觉！
这个稳定又是什么意思呢？像这位老师一样，能够让孩子通过动手操作来体会三角形的稳定性，已经非常不错了，但是我们还不能只于此。
通过这样的操作大家可以体会到，三角形的稳定性是相对于四边形而言的。我们可以让孩子在操作一个四边形过程中去体会，当你拉动四边形的两个对角顶点的时候，四边形的什么变了？什么没有变？
孩子们会发现，四边形的四条边长度都没有变，但是四个角的大小都发生了变化。是的，这正是四边形不够稳定的原因，当它的四条边长度不变的时候，四个角却可以改变。
但是老师要追问了：当我们进行分类的时候，要确保分类的科学严谨，要注意哪些问题？
四年级的孩子还不能用平行线来进行推理证明，他们首先会通过什么方式发现三角形内角和是180°呢？通过测量。在学习角的度量时，孩子们已经测量过三角形的内角，他们已经发现了这个“规律”。现在让孩子们说明这个问题，他们首先想到的办法当然是测量。但是只测量几个三角形能不能说明所有三角形都是内角和180°呢？有的孩子真的会有这样的疑惑。这样通过不完全归纳得出结论，肯定是不严谨的。于是我们的宋宋老师，带着孩子们展开了一场了不起的探索，孩子们找到了很多种不同的操作方法，来“证明”三角形内角和是180°。详情请拷贝下面的链接查看：
这个关于边的性质也会通过操作、讨论被孩子们探索获得，在此不再细细地讲了。
那么回头想一想，9岁左右的儿童头脑中的三角形观念，有什么样的特点呢？
12岁左右，也就是七年级的时候，儿童头脑中的三角形观念又有什么新的发展呢？
刚才谈到四年级的孩子可以通过图形变换“证明”三角形内角和180°，到了七年级，他们就可以用平行线的性质和判定来严谨地推理证明这个结论了。这是从小学到初中最重要的转变——从操作、测量到推理证明。
实际上七年级学习三角形最核心的观念是三角形全等。这个内容我们也要带着孩子们一起经历一个非常了不起的探索过程。时间关系，我不过多细讲我们的教学过程，而是跟大家分享一下，可以怎样跟孩子玩。
假期里，我跟我的外甥玩儿了一次作图游戏，把三角形全等的判定问题全部带出来了。起初我任意画一个△ABC，要求他用圆规和无刻度的直尺画出另一个△A’B’C’和已知三角形全等。
仔细看他的作图痕迹，可以发现，他是通过用圆规截取三条边的长度，三组对应边分别相等了，这两个三角形就全等了。当然，他自己不仅要画，还要思考，这样画能不能确保全等。他的结论是可以。这其实就是“边边边”判定三角形全等啊！
还有其他画法吗？讨论了如何画等角以后，他又画出了“边角边”、“角边角”两种情况：
最后这张图是他发现的反例：“边边角”和“角角角”不能判定三角形全等。
初一学生尺规作图
我们在教学中会加入关于“公理”、“定理”的讨论，会着力在欧氏几何公理化体系的建立上，但是这可能对家长来说有点难以达到。对于家长朋友们来说，如果能跟孩子一起探索上述作图过程，至少可以确保孩子学习三角形全等的判定不是机械地记结论，他可以通过作图经验和必要的思考体会其中的规律，这就已经很好了。
现在想一想，12岁左右的儿童，头脑中的三角形观念有什么特点呢？
通过这一章的学习，孩子们可以把原来“知其然而不知其所以然”的一些性质证明出来了，三角形全等的观念初步建构起来了，今后他可以用这个强有力的思维工具去探索证明很多其他平面图形的性质问题了。
到这里，大家对“三角形的前世今生”有点感觉了吗？
其实，三角形的观念远远没有发展成熟，后面还有很多问题等待孩子们去探索，比如用三角形全等去探索证明特殊四边形的性质，相似三角形，三角形与圆的关系，三角函数等等。
“浪漫—精确—综合”的认知循环就这样不断地展开，每次解决了一串认知冲突，马上又会有新的问题浮出水面，于是期待下一个新的探索旅程。就这样，我们一直走在这条探索未知领域的道路上！
目前，贞元第二轮的线上讲座中的四场已经完美收官，在两轮的讲座中，我们已经把语数英三门学科从小学到初中的教学理念和实践为大家做了完整的介绍。接下来，在8月24号的20:00，将有最后一场讲座，沈慧敏老师的《超越应试教育，走向世界名校——妈妈讲述女儿的哈佛之路》，沈老师将为大家讲述她认识教育、实践教育，与女儿共同成长，帮助女儿走入世界名校的心路历程。
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